Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2/3*x^3-8*x^2+15
- (|x^3-4|)
- -x^3+12*x^2-45*x+53
-
(x+7)/(x-7)
- Производная:
-
(x-1)^2*(x-2)
- Раскрыть скобки в:
- (x-1)^2*(x-2)
-
Идентичные выражения
- (x- один)^ два *(x- два)
- (x минус 1) в квадрате умножить на (x минус 2)
- (x минус один) в степени два умножить на (x минус два)
- (x-1)2*(x-2)
- x-12*x-2
- (x-1)²*(x-2)
- (x-1) в степени 2*(x-2)
- (x-1)^2(x-2)
- (x-1)2(x-2)
- x-12x-2
- x-1^2x-2
-
Похожие выражения
- (x-1)^2*(x+2)
- (x+1)^2*(x-2)
График функции y = (x-1)^2*(x-2)
Решение
Вы ввели
[src]
2 f(x) = (x - 1) *(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)$$
f = (x - 1*1)^2*(x - 1*2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right) \left(2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{5}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \frac{5}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right) \left(2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = \frac{5}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
2 (1, (-1 + 1) *(-2 + 1))
2 (5/3, (-1 + 5/3) *(-2 + 5/3))
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[\frac{5}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \frac{5}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x - 4\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{4}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)^2*(x - 1*2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$\left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right) = - \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График