Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- ((|x^2+6*x+5|))
-
sqrt(x)^2+x
-
x^4-14*x^2+24*x-3
-
3*x^4-6*x^2-1
- Производная:
- (x-1)/(x^2-5*x+7)
-
Идентичные выражения
- (x- один)/(x^ два - пять *x+ семь)
- (x минус 1) делить на (x в квадрате минус 5 умножить на x плюс 7)
- (x минус один) делить на (x в степени два минус пять умножить на x плюс семь)
- (x-1)/(x2-5*x+7)
- x-1/x2-5*x+7
- (x-1)/(x²-5*x+7)
- (x-1)/(x в степени 2-5*x+7)
- (x-1)/(x^2-5x+7)
- (x-1)/(x2-5x+7)
- x-1/x2-5x+7
- x-1/x^2-5x+7
- (x-1) разделить на (x^2-5*x+7)
-
Похожие выражения
- (x-1)/(x^2-5*x-7)
- (x+1)/(x^2-5*x+7)
- (x-1)/(x^2+5*x+7)
График функции y = (x-1)/(x^2-5*x+7)
Решение
Вы ввели
[src]
x - 1
f(x) = ------------
2
x - 5*x + 7
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7}$$
f = (x - 1*1)/(x^2 - 5*x + 7)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 5\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3} + 1, 1 + \sqrt{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} + 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 5\right) \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 7} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ - \/ 3 - 1 + 1
(- \/ 3 + 1, ----------------------------)
2
/ ___ \ ___
\- \/ 3 + 1/ + 2 + 5*\/ 3 ___
___ -1 + 1 + \/ 3
(1 + \/ 3, ----------------------------)
2
___ / ___\
- 5*\/ 3 + 2 + \1 + \/ 3 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{3} + 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{3} + 1, 1 + \sqrt{3}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3} + 1\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 7} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 7} - 1\right) - 2 x + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 7\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{9}{\sqrt[3]{\frac{243}{2} + \frac{81 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{3} \cos{\left(\frac{\pi}{18} \right)} + 1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)/(x^2 - 5*x + 7), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 5 x + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 5 x + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 5 x + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 5 x + 7\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = \frac{- x - 1}{x^{2} + 5 x + 7}$$
- Нет
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = - \frac{- x - 1}{x^{2} + 5 x + 7}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = \frac{- x - 1}{x^{2} + 5 x + 7}$$
- Нет
$$\frac{x - 1}{x^{2} - 5 x + 7} = - \frac{- x - 1}{x^{2} + 5 x + 7}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График