Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x-2/(sqrt(x^2+1))
Построение графика функции/ x-2/(sqrt(x^2+1))

Вы ввели:

x-2/(sqrt(x^2+1))

Что Вы имели ввиду?

(x - 1*2)/(sqrt(x^2 + 1))
 
(x - 1*2)/(sqrt(x^2) + 1)
 
(x - 1*2)/(sqrt(x)*2 + 1)
 
(x - 1*2)/((sqrt(x))^2 + 1)
 
(x - 1*2)*(x^2 + 1)/(sqrt(x))
 
x - 2/(sqrt(x^2 + 1))
 
x - 2*(x^2 + 1)/(sqrt(x))

График функции y = x-2/(sqrt(x^2+1))

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
                2     
f(x) = x - -----------
              ________
             /  2     
           \/  x  + 1
$$f{\left(x \right)} = x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$ 
f = x - 2/(sqrt(x^2 + 1))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{17}}{2}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 1.24962106768765$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x - 2/(sqrt(x^2 + 1)).
$$- \frac{2}{\sqrt{0^{2} + 1}} + 0$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 + \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2}}{x^{2} + 1} + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x - 2/(sqrt(x^2 + 1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = - x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
- Нет
$$x - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}} = x + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x-2/(sqrt(x^2+1))
    © Господин Экзамен – Калькулятор