Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
exp(sqrt(2)*sin(x))
- (log((|x+6|))/log(3))
-
x^3-12*x^2-9*x+1
-
cos(x)+sin(x)+cos(3*x)+sin(3*x)
-
Идентичные выражения
- x/((x^ два)- шестнадцать)
- x делить на ((x в квадрате ) минус 16)
- x делить на ((x в степени два) минус шестнадцать)
- x/((x2)-16)
- x/x2-16
- x/((x²)-16)
- x/((x в степени 2)-16)
- x/x^2-16
- x разделить на ((x^2)-16)
-
Похожие выражения
- (2-sqrt(x))/(x^2-16)
- x/((x^2)+16)
- x/(x^2-1)*6
- 2*(-sqrt(8-x))/((x)^2-16)
График функции y = x/((x^2)-16)
Решение
Вы ввели
[src]
x
f(x) = -------
2
x - 16
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{x^{2} - 16}$$
f = x/(x^2 - 1*16)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -4$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 16} - 3\right)}{\left(x^{2} - 16\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 4$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} - 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(x^2 - 1*16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} - 16} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = - \frac{x}{x^{2} - 16}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = \frac{x}{x^{2} - 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = - \frac{x}{x^{2} - 16}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} - 16} = \frac{x}{x^{2} - 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График