Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 3*sin(x/2)
-
2*sin(2*x-1)
-
3^(-x)
-
3*x-cos(x)-1
-
Идентичные выражения
- (восемь *x)/(x^ два + шестнадцать)
- (8 умножить на x) делить на (x в квадрате плюс 16)
- (восемь умножить на x) делить на (x в степени два плюс шестнадцать)
- (8*x)/(x2+16)
- 8*x/x2+16
- (8*x)/(x²+16)
- (8*x)/(x в степени 2+16)
- (8x)/(x^2+16)
- (8x)/(x2+16)
- 8x/x2+16
- 8x/x^2+16
- (8*x) разделить на (x^2+16)
-
Похожие выражения
- (8*x)/(x^2-16)
График функции y = (8*x)/(x^2+16)
Решение
Вы ввели
[src]
8*x
f(x) = -------
2
x + 16
$$f{\left(x \right)} = \frac{8 x}{x^{2} + 16}$$
f = 8*x/(x^2 + 16)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
$$\left[-4, 4\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} + \frac{8}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, -1)
(4, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Убывает на промежутках
$$\left[-4, 4\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{16 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 4 \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{16 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 3\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 4 \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[4 \sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{3}\right] \cup \left[0, 4 \sqrt{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8 x}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*x/(x^2 + 16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{8}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = - \frac{8 x}{x^{2} + 16}$$
- Нет
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = \frac{8 x}{x^{2} + 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = - \frac{8 x}{x^{2} + 16}$$
- Нет
$$\frac{8 x}{x^{2} + 16} = \frac{8 x}{x^{2} + 16}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График