Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
3*x^4-4*x^3-12*x^2+10
-
6*(t-sin(t))
-
sqrt(-x^2)
-
x^2+3
-
Идентичные выражения
- три *x^ четыре - четыре *x^ три - двенадцать *x^ два + десять
- 3 умножить на x в степени 4 минус 4 умножить на x в кубе минус 12 умножить на x в квадрате плюс 10
- три умножить на x в степени четыре минус четыре умножить на x в степени три минус двенадцать умножить на x в степени два плюс десять
- 3*x4-4*x3-12*x2+10
- 3*x⁴-4*x³-12*x²+10
- 3*x в степени 4-4*x в степени 3-12*x в степени 2+10
- 3x^4-4x^3-12x^2+10
- 3x4-4x3-12x2+10
-
Похожие выражения
- 3*x^4+4*x^3-12*x^2+10
- 3*x^4-4*x^3+12*x^2+10
- 3*x^4-4*x^3-12*x^2-10
График функции y = 3*x^4-4*x^3-12*x^2+10
Решение
Вы ввели
[src]
4 3 2 f(x) = 3*x - 4*x - 12*x + 10
$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10$$
f = 3*x^4 - 4*x^3 - 12*x^2 + 10
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} - \frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + \frac{160}{27 \sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}} + \frac{56}{9}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} - \frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + \frac{160}{27 \sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}} + \frac{56}{9}}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.65999011635119$$
$$x_{2} = 0.870085253889157$$
значит надо решить уравнение:
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} - \frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + \frac{160}{27 \sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}} + \frac{56}{9}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} - \frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + \frac{160}{27 \sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}} + \frac{56}{9}}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{\frac{28}{9 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{10 \sqrt{11}}{27} + \frac{62}{27}} + \frac{28}{9}}}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.65999011635119$$
$$x_{2} = 0.870085253889157$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, 5)
(0, 10)
(2, -22)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \cdot \left(3 x^{2} - 2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \cdot \left(3 x^{2} - 2 x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}\right] \cup \left[\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{1}{3}, \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 3*x^4 - 4*x^3 - 12*x^2 + 10, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10$$
- Нет
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = - 3 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10$$
- Нет
$$3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 10 = - 3 x^{4} - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 10$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График