Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sin(x)/sin(|x|)
-
1/((|x|))
-
sin(x)
-
x^2-8*x
-
Идентичные выражения
- sin(x)/sin(|x|)
- синус от (x) делить на синус от ( модуль от x|)
- sinx/sin|x|
- sin(x) разделить на sin(|x|)
-
Похожие выражения
- sinx/sin(|x|)
График функции y = sin(x)/sin(|x|)
Решение
Вы ввели
[src]
sin(x)
f(x) = --------
sin(|x|)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
f = sin(x)/sin(|x|)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -10$$
$$x_{2} = -59.75$$
$$x_{3} = 62$$
$$x_{4} = 56$$
$$x_{5} = -70$$
$$x_{6} = 28$$
$$x_{7} = -99.75$$
$$x_{8} = 82.25$$
$$x_{9} = 96$$
$$x_{10} = 26$$
$$x_{11} = -77.75$$
$$x_{12} = 70$$
$$x_{13} = 76$$
$$x_{14} = 12$$
$$x_{15} = 38.25$$
$$x_{16} = -50$$
$$x_{17} = -36$$
$$x_{18} = -52$$
$$x_{19} = -48$$
$$x_{20} = -20$$
$$x_{21} = 64$$
$$x_{22} = -68$$
$$x_{23} = -33.5$$
$$x_{24} = -18$$
$$x_{25} = 78.25$$
$$x_{26} = 88$$
$$x_{27} = -76$$
$$x_{28} = -26$$
$$x_{29} = -4$$
$$x_{30} = -54$$
$$x_{31} = 44.25$$
$$x_{32} = 4$$
$$x_{33} = 72$$
$$x_{34} = -32$$
$$x_{35} = 40$$
$$x_{36} = 90$$
$$x_{37} = -58$$
$$x_{38} = -21.75$$
$$x_{39} = -23.4833333333333$$
$$x_{40} = 10$$
$$x_{41} = -5.5$$
$$x_{42} = 66$$
$$x_{43} = 98$$
$$x_{44} = -37.75$$
$$x_{45} = -30$$
$$x_{46} = 18$$
$$x_{47} = 52$$
$$x_{48} = -80$$
$$x_{49} = 80$$
$$x_{50} = -62$$
$$x_{51} = 24.25$$
$$x_{52} = -42.25$$
$$x_{53} = -66$$
$$x_{54} = -98$$
$$x_{55} = -2$$
$$x_{56} = 86.5$$
$$x_{57} = -43.7777777777778$$
$$x_{58} = 60.25$$
$$x_{59} = 5.96428571428571$$
$$x_{60} = -14$$
$$x_{61} = -85.75$$
$$x_{62} = 22.2424242424242$$
$$x_{63} = 2$$
$$x_{64} = 50$$
$$x_{65} = -56$$
$$x_{66} = 54$$
$$x_{67} = 42.25$$
$$x_{68} = -81.95$$
$$x_{69} = 34.0833333333333$$
$$x_{70} = 58$$
$$x_{71} = 100.25$$
$$x_{72} = -84$$
$$x_{73} = -94$$
$$x_{74} = -28$$
$$x_{75} = -12$$
$$x_{76} = -91.75$$
$$x_{77} = 94$$
$$x_{78} = -7.75$$
$$x_{79} = -72$$
$$x_{80} = 30$$
$$x_{81} = -40$$
$$x_{82} = 32$$
$$x_{83} = -74$$
$$x_{84} = 36$$
$$x_{85} = -64$$
$$x_{86} = 14$$
$$x_{87} = 8.25$$
$$x_{88} = -88$$
$$x_{89} = -15.75$$
$$x_{90} = -45.7$$
$$x_{91} = 84$$
$$x_{92} = 16.1666666666667$$
$$x_{93} = 92.1666666666667$$
$$x_{94} = 68$$
$$x_{95} = -96$$
$$x_{96} = 20$$
$$x_{97} = 74$$
$$x_{98} = 46.25$$
$$x_{99} = 48$$
$$x_{100} = -90$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -70$$
$$x_{2} = 96$$
$$x_{3} = -36$$
$$x_{4} = -33.5$$
$$x_{5} = 4$$
$$x_{6} = 58$$
$$x_{7} = 94$$
$$x_{8} = 32$$
$$x_{9} = 74$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{9} = 70$$
$$x_{9} = -4$$
$$x_{9} = -32$$
$$x_{9} = -58$$
$$x_{9} = -94$$
$$x_{9} = -7.75$$
$$x_{9} = -74$$
$$x_{9} = 36$$
$$x_{9} = -96$$
Убывает на промежутках
$$\left[96, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -70\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(\left|{x}\right| \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(\left|{x}\right| \right)}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -10$$
$$x_{2} = -59.75$$
$$x_{3} = 62$$
$$x_{4} = 56$$
$$x_{5} = -70$$
$$x_{6} = 28$$
$$x_{7} = -99.75$$
$$x_{8} = 82.25$$
$$x_{9} = 96$$
$$x_{10} = 26$$
$$x_{11} = -77.75$$
$$x_{12} = 70$$
$$x_{13} = 76$$
$$x_{14} = 12$$
$$x_{15} = 38.25$$
$$x_{16} = -50$$
$$x_{17} = -36$$
$$x_{18} = -52$$
$$x_{19} = -48$$
$$x_{20} = -20$$
$$x_{21} = 64$$
$$x_{22} = -68$$
$$x_{23} = -33.5$$
$$x_{24} = -18$$
$$x_{25} = 78.25$$
$$x_{26} = 88$$
$$x_{27} = -76$$
$$x_{28} = -26$$
$$x_{29} = -4$$
$$x_{30} = -54$$
$$x_{31} = 44.25$$
$$x_{32} = 4$$
$$x_{33} = 72$$
$$x_{34} = -32$$
$$x_{35} = 40$$
$$x_{36} = 90$$
$$x_{37} = -58$$
$$x_{38} = -21.75$$
$$x_{39} = -23.4833333333333$$
$$x_{40} = 10$$
$$x_{41} = -5.5$$
$$x_{42} = 66$$
$$x_{43} = 98$$
$$x_{44} = -37.75$$
$$x_{45} = -30$$
$$x_{46} = 18$$
$$x_{47} = 52$$
$$x_{48} = -80$$
$$x_{49} = 80$$
$$x_{50} = -62$$
$$x_{51} = 24.25$$
$$x_{52} = -42.25$$
$$x_{53} = -66$$
$$x_{54} = -98$$
$$x_{55} = -2$$
$$x_{56} = 86.5$$
$$x_{57} = -43.7777777777778$$
$$x_{58} = 60.25$$
$$x_{59} = 5.96428571428571$$
$$x_{60} = -14$$
$$x_{61} = -85.75$$
$$x_{62} = 22.2424242424242$$
$$x_{63} = 2$$
$$x_{64} = 50$$
$$x_{65} = -56$$
$$x_{66} = 54$$
$$x_{67} = 42.25$$
$$x_{68} = -81.95$$
$$x_{69} = 34.0833333333333$$
$$x_{70} = 58$$
$$x_{71} = 100.25$$
$$x_{72} = -84$$
$$x_{73} = -94$$
$$x_{74} = -28$$
$$x_{75} = -12$$
$$x_{76} = -91.75$$
$$x_{77} = 94$$
$$x_{78} = -7.75$$
$$x_{79} = -72$$
$$x_{80} = 30$$
$$x_{81} = -40$$
$$x_{82} = 32$$
$$x_{83} = -74$$
$$x_{84} = 36$$
$$x_{85} = -64$$
$$x_{86} = 14$$
$$x_{87} = 8.25$$
$$x_{88} = -88$$
$$x_{89} = -15.75$$
$$x_{90} = -45.7$$
$$x_{91} = 84$$
$$x_{92} = 16.1666666666667$$
$$x_{93} = 92.1666666666667$$
$$x_{94} = 68$$
$$x_{95} = -96$$
$$x_{96} = 20$$
$$x_{97} = 74$$
$$x_{98} = 46.25$$
$$x_{99} = 48$$
$$x_{100} = -90$$
Зн. экстремумы в точках:
(-10, -1)
(-59.75, -1)
(62, 1)
(56, 1)
(-70, -1)
(28, 1)
(-99.75, -1)
(82.25, 1)
(96, 1)
(26, 1)
(-77.75, -1)
(70, 1)
(76, 1)
(12, 1)
(38.25, 1)
(-50, -1)
(-36, -1)
(-52, -1)
(-48, -1)
(-20, -1)
(64, 1)
(-68, -1)
(-33.5, -1)
(-18, -1)
(78.25, 1)
(88, 1)
(-76, -1)
(-26, -1)
(-4, -1)
(-54, -1)
(44.25, 1)
(4, 1)
(72, 1)
(-32, -1)
(40, 1)
(90, 1)
(-58, -1)
(-21.75, -1)
(-23.4833333333333, -1)
(10, 1)
(-5.5, -1)
(66, 1)
(98, 1)
(-37.75, -1)
(-30, -1)
(18, 1)
(52, 1)
(-80, -1)
(80, 1)
(-62, -1)
(24.25, 1)
(-42.25, -1)
(-66, -1)
(-98, -1)
(-2, -1)
(86.5, 1)
(-43.7777777777778, -1)
(60.25, 1)
(5.96428571428571, 1)
(-14, -1)
(-85.75, -1)
(22.2424242424242, 1)
(2, 1)
(50, 1)
(-56, -1)
(54, 1)
(42.25, 1)
(-81.95, -1)
(34.0833333333333, 1)
(58, 1)
(100.25, 1)
(-84, -1)
(-94, -1)
(-28, -1)
(-12, -1)
(-91.75, -1)
(94, 1)
(-7.75, -1)
(-72, -1)
(30, 1)
(-40, -1)
(32, 1)
(-74, -1)
(36, 1)
(-64, -1)
(14, 1)
(8.25, 1)
(-88, -1)
(-15.75, -1)
(-45.7, -1)
(84, 1)
(16.1666666666667, 1)
(92.1666666666667, 1)
(68, 1)
(-96, -1)
(20, 1)
(74, 1)
(46.25, 1)
(48, 1)
(-90, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -70$$
$$x_{2} = 96$$
$$x_{3} = -36$$
$$x_{4} = -33.5$$
$$x_{5} = 4$$
$$x_{6} = 58$$
$$x_{7} = 94$$
$$x_{8} = 32$$
$$x_{9} = 74$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{9} = 70$$
$$x_{9} = -4$$
$$x_{9} = -32$$
$$x_{9} = -58$$
$$x_{9} = -94$$
$$x_{9} = -7.75$$
$$x_{9} = -74$$
$$x_{9} = 36$$
$$x_{9} = -96$$
Убывает на промежутках
$$\left[96, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -70\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/sin(|x|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(\left|{x}\right| \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График