Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/(x^2+7*x+12)
-
-sqrt(9-x^2)
-
x^3-2
-
(sin(x))/(1-cos(x)^(2))
-
Идентичные выражения
- (sin(x))/(один -cos(x)^(два))
- ( синус от (x)) делить на (1 минус косинус от (x) в степени (2))
- ( синус от (x)) делить на (один минус косинус от (x) в степени (два))
- (sin(x))/(1-cos(x)(2))
- sinx/1-cosx2
- sinx/1-cosx^2
- (sin(x)) разделить на (1-cos(x)^(2))
-
Похожие выражения
- (sin(x))/(1+cos(x)^(2))
- (sinx)/(1-cosx^(2))
График функции y = (sin(x))/(1-cos(x)^(2))
Решение
Вы ввели
[src]
sin(x)
f(x) = -----------
2
1 - cos (x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
f = sin(x)/(1 - cos(x)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, -1) 2
pi (--, 1) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(- \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{2 \left(\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(- \frac{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} + 1 - \frac{2 \left(\frac{4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} - \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{3} = 6.28318530717959$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x)/(1 - cos(x)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{x \left(- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{- \cos^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График