Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- (|x-5|)
-
Идентичные выражения
- sin((один / два)*x)- два
- синус от ((1 делить на 2) умножить на x) минус 2
- синус от ((один делить на два) умножить на x) минус два
- sin((1/2)x)-2
- sin1/2x-2
- sin((1 разделить на 2)*x)-2
-
Похожие выражения
- sin((1/2)*x)+2
График функции y = sin((1/2)*x)-2
Решение
Вы ввели
[src]
/x\
f(x) = sin|-| - 2
\2/
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2$$
f = sin(x/2) - 1*2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \pi$$
$$x_{2} = 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(pi, -2 + 1)
(3*pi, -2 - 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right] \cup \left[3 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, 3 \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2 \pi\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2\right) = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -3, -1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x/2) - 1*2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2$$
- Нет
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График