Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+sign(x)
-
sin(4*x)+1
-
6-2^x
-
atan(sqrt(x))
-
Идентичные выражения
- sin(четыре *x)+ один
- синус от (4 умножить на x) плюс 1
- синус от (четыре умножить на x) плюс один
- sin(4x)+1
- sin4x+1
-
Похожие выражения
- sin(4*x)-1
График функции y = sin(4*x)+1
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = sin(4*x) + 1
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)} + 1$$
f = sin(4*x) + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -367.959039667966$$
$$x_{2} = 84.4303024715116$$
$$x_{3} = 21.5984495824462$$
$$x_{4} = -16.1006622734711$$
$$x_{5} = -39.6626073053534$$
$$x_{6} = 48.3019869823087$$
$$x_{7} = 92.2842841757553$$
$$x_{8} = -8.24668059419322$$
$$x_{9} = -91.498886148304$$
$$x_{10} = 90.7134878811712$$
$$x_{11} = 10.6028750937315$$
$$x_{12} = 57.7267651333619$$
$$x_{13} = 68.7223393336083$$
$$x_{14} = -52.2289777470169$$
$$x_{15} = 48.301987014692$$
$$x_{16} = -55.370570621922$$
$$x_{17} = -96.2112749006757$$
$$x_{18} = 65.5807467157997$$
$$x_{19} = 2.74889373159412$$
$$x_{20} = -30.237829170498$$
$$x_{21} = 40.4480053155132$$
$$x_{22} = -25.5254404172294$$
$$x_{23} = -45.9457926779855$$
$$x_{24} = -75.7909227331784$$
$$x_{25} = 84.4303027206186$$
$$x_{26} = -85.215700617134$$
$$x_{27} = -14.5298663255924$$
$$x_{28} = -36.5210148980811$$
$$x_{29} = -53.7997741489889$$
$$x_{30} = 32.594023666847$$
$$x_{31} = 46.7311907920314$$
$$x_{32} = -38.0918108532085$$
$$x_{33} = -77.3617191922663$$
$$x_{34} = -63.2245518402327$$
$$x_{35} = 27.8816348852699$$
$$x_{36} = 78.1471173828293$$
$$x_{37} = 54.5851722404622$$
$$x_{38} = 27.8816346273068$$
$$x_{39} = -60.0829594332135$$
$$x_{40} = 4.31968985434627$$
$$x_{41} = 5.89048630601688$$
$$x_{42} = 86.0010988906895$$
$$x_{43} = 56.1559687898059$$
$$x_{44} = -74.2201263237444$$
$$x_{45} = -41.233403301565$$
$$x_{46} = -9.81747697788046$$
$$x_{47} = 26.3108384344347$$
$$x_{48} = -61.6537558849751$$
$$x_{49} = -80.5033119347586$$
$$x_{50} = -99.3528677616324$$
$$x_{51} = -1.96349547006081$$
$$x_{52} = -47.5165889944504$$
$$x_{53} = -97.7820713166882$$
$$x_{54} = 87.5718952800362$$
$$x_{55} = -23.9546440698867$$
$$x_{56} = 71.8639320431144$$
$$x_{57} = -3.53429183982371$$
$$x_{58} = 20.0276531244896$$
$$x_{59} = -44.374996126151$$
$$x_{60} = 34.1648201986395$$
$$x_{61} = 76.5763208145247$$
$$x_{62} = 18.4568567377593$$
$$x_{63} = 35.7356165577455$$
$$x_{64} = -58.512163418571$$
$$x_{65} = -33.3794220507366$$
$$x_{66} = -66.3661446973152$$
$$x_{67} = 62.4391538934323$$
$$x_{68} = -11.3882734788215$$
$$x_{69} = -89.9280899395631$$
$$x_{70} = 49.8727834642995$$
$$x_{71} = 43.5895981498367$$
$$x_{72} = -82.0741080135087$$
$$x_{73} = -17.6714587255811$$
$$x_{74} = -22.3838475557172$$
$$x_{75} = 12.1736716095332$$
$$x_{76} = 13.7444679818906$$
$$x_{77} = 98.5674693889903$$
$$x_{78} = 79.7179137087287$$
$$x_{79} = 24.7400422576775$$
$$x_{80} = -67.9369412996327$$
$$x_{81} = -19.2422547864247$$
$$x_{82} = 93.8550806217218$$
$$x_{83} = 42.0188017154946$$
$$x_{84} = -83.6449044644497$$
$$x_{85} = 64.0099503040047$$
$$x_{86} = 70.2931355951281$$
$$x_{87} = -31.8086255639604$$
$$x_{88} = 100.138265970845$$
$$x_{89} = -69.5077375714784$$
$$x_{90} = -0.392698986134672$$
$$x_{91} = -88.3572932691129$$
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Численное решение
$$x_{1} = -367.959039667966$$
$$x_{2} = 84.4303024715116$$
$$x_{3} = 21.5984495824462$$
$$x_{4} = -16.1006622734711$$
$$x_{5} = -39.6626073053534$$
$$x_{6} = 48.3019869823087$$
$$x_{7} = 92.2842841757553$$
$$x_{8} = -8.24668059419322$$
$$x_{9} = -91.498886148304$$
$$x_{10} = 90.7134878811712$$
$$x_{11} = 10.6028750937315$$
$$x_{12} = 57.7267651333619$$
$$x_{13} = 68.7223393336083$$
$$x_{14} = -52.2289777470169$$
$$x_{15} = 48.301987014692$$
$$x_{16} = -55.370570621922$$
$$x_{17} = -96.2112749006757$$
$$x_{18} = 65.5807467157997$$
$$x_{19} = 2.74889373159412$$
$$x_{20} = -30.237829170498$$
$$x_{21} = 40.4480053155132$$
$$x_{22} = -25.5254404172294$$
$$x_{23} = -45.9457926779855$$
$$x_{24} = -75.7909227331784$$
$$x_{25} = 84.4303027206186$$
$$x_{26} = -85.215700617134$$
$$x_{27} = -14.5298663255924$$
$$x_{28} = -36.5210148980811$$
$$x_{29} = -53.7997741489889$$
$$x_{30} = 32.594023666847$$
$$x_{31} = 46.7311907920314$$
$$x_{32} = -38.0918108532085$$
$$x_{33} = -77.3617191922663$$
$$x_{34} = -63.2245518402327$$
$$x_{35} = 27.8816348852699$$
$$x_{36} = 78.1471173828293$$
$$x_{37} = 54.5851722404622$$
$$x_{38} = 27.8816346273068$$
$$x_{39} = -60.0829594332135$$
$$x_{40} = 4.31968985434627$$
$$x_{41} = 5.89048630601688$$
$$x_{42} = 86.0010988906895$$
$$x_{43} = 56.1559687898059$$
$$x_{44} = -74.2201263237444$$
$$x_{45} = -41.233403301565$$
$$x_{46} = -9.81747697788046$$
$$x_{47} = 26.3108384344347$$
$$x_{48} = -61.6537558849751$$
$$x_{49} = -80.5033119347586$$
$$x_{50} = -99.3528677616324$$
$$x_{51} = -1.96349547006081$$
$$x_{52} = -47.5165889944504$$
$$x_{53} = -97.7820713166882$$
$$x_{54} = 87.5718952800362$$
$$x_{55} = -23.9546440698867$$
$$x_{56} = 71.8639320431144$$
$$x_{57} = -3.53429183982371$$
$$x_{58} = 20.0276531244896$$
$$x_{59} = -44.374996126151$$
$$x_{60} = 34.1648201986395$$
$$x_{61} = 76.5763208145247$$
$$x_{62} = 18.4568567377593$$
$$x_{63} = 35.7356165577455$$
$$x_{64} = -58.512163418571$$
$$x_{65} = -33.3794220507366$$
$$x_{66} = -66.3661446973152$$
$$x_{67} = 62.4391538934323$$
$$x_{68} = -11.3882734788215$$
$$x_{69} = -89.9280899395631$$
$$x_{70} = 49.8727834642995$$
$$x_{71} = 43.5895981498367$$
$$x_{72} = -82.0741080135087$$
$$x_{73} = -17.6714587255811$$
$$x_{74} = -22.3838475557172$$
$$x_{75} = 12.1736716095332$$
$$x_{76} = 13.7444679818906$$
$$x_{77} = 98.5674693889903$$
$$x_{78} = 79.7179137087287$$
$$x_{79} = 24.7400422576775$$
$$x_{80} = -67.9369412996327$$
$$x_{81} = -19.2422547864247$$
$$x_{82} = 93.8550806217218$$
$$x_{83} = 42.0188017154946$$
$$x_{84} = -83.6449044644497$$
$$x_{85} = 64.0099503040047$$
$$x_{86} = 70.2931355951281$$
$$x_{87} = -31.8086255639604$$
$$x_{88} = 100.138265970845$$
$$x_{89} = -69.5077375714784$$
$$x_{90} = -0.392698986134672$$
$$x_{91} = -88.3572932691129$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 2) 8
3*pi (----, 0) 8
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 16 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 16 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(4 x \right)} + 1\right) = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle 0, 2\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(4*x) + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = - \sin{\left(4 x \right)} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = \sin{\left(4 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = - \sin{\left(4 x \right)} + 1$$
- Нет
$$\sin{\left(4 x \right)} + 1 = \sin{\left(4 x \right)} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График