Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2*x^3-6*x^2-4
- 3*log(x)/sqrt(x)
-
5/2*x
- x/tan(x)
-
Идентичные выражения
- шестнадцать - шестьдесят *x- пятьдесят два *x^ два +x^ три - двенадцать *x^ четыре + четыре *x^ пять
- 16 минус 60 умножить на x минус 52 умножить на x в квадрате плюс x в кубе минус 12 умножить на x в степени 4 плюс 4 умножить на x в степени 5
- шестнадцать минус шестьдесят умножить на x минус пятьдесят два умножить на x в степени два плюс x в степени три минус двенадцать умножить на x в степени четыре плюс четыре умножить на x в степени пять
- 16-60*x-52*x2+x3-12*x4+4*x5
- 16-60*x-52*x²+x³-12*x⁴+4*x⁵
- 16-60*x-52*x в степени 2+x в степени 3-12*x в степени 4+4*x в степени 5
- 16-60x-52x^2+x^3-12x^4+4x^5
- 16-60x-52x2+x3-12x4+4x5
-
Похожие выражения
- 16-60*x+52*x^2+x^3-12*x^4+4*x^5
- 16-60*x-52*x^2+x^3-12*x^4-4*x^5
- 16+60*x-52*x^2+x^3-12*x^4+4*x^5
- 16-60*x-52*x^2+x^3+12*x^4+4*x^5
- 16-60*x-52*x^2-x^3-12*x^4+4*x^5
График функции y = 16-60*x-52*x^2+x^3-12*x^4+4*x^5
Решение
Вы ввели
[src]
2 3 4 5 f(x) = 16 - 60*x - 52*x + x - 12*x + 4*x
$$f{\left(x \right)} = 4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16$$
f = 4*x^5 - 12*x^4 + x^3 - 52*x^2 - 60*x + 16
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 2\right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.05615113329585$$
$$x_{2} = 3.97990827140957$$
$$x_{3} = 0.223212022640146$$
значит надо решить уравнение:
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 0\right)}$$
$$x_{2} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 1\right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{CRootOf} {\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16, 2\right)}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.05615113329585$$
$$x_{2} = 3.97990827140957$$
$$x_{3} = 0.223212022640146$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$20 x^{4} - 48 x^{3} + 3 x^{2} - 104 x - 60 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$20 x^{4} - 48 x^{3} + 3 x^{2} - 104 x - 60 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1/2, 32)
4 2 3 5
____________________ / ____________________\ / ____________________\ ____________________ / ____________________\ / ____________________\
/ ________ | / ________ | | / ________ | / ________ | / ________ | | / ________ |
361 29 / \/ 218973 84509 | 361 29 / \/ 218973 84509 | | 361 29 / \/ 218973 84509 | / \/ 218973 84509 361 | 361 29 / \/ 218973 84509 | | 361 29 / \/ 218973 84509 |
(----------------------------- + -- + 3 / ---------- + -----, - 12*|----------------------------- + -- + 3 / ---------- + ----- | - 52*|----------------------------- + -- + 3 / ---------- + ----- | - 60*3 / ---------- + ----- - 42 - ---------------------------- + |----------------------------- + -- + 3 / ---------- + ----- | + 4*|----------------------------- + -- + 3 / ---------- + ----- | )
____________________ 30 \/ 150 27000 | ____________________ 30 \/ 150 27000 | | ____________________ 30 \/ 150 27000 | \/ 150 27000 ____________________ | ____________________ 30 \/ 150 27000 | | ____________________ 30 \/ 150 27000 |
/ ________ | / ________ | | / ________ | / ________ | / ________ | | / ________ |
/ \/ 218973 84509 | / \/ 218973 84509 | | / \/ 218973 84509 | / \/ 218973 84509 | / \/ 218973 84509 | | / \/ 218973 84509 |
900*3 / ---------- + ----- |900*3 / ---------- + ----- | |900*3 / ---------- + ----- | 15*3 / ---------- + ----- |900*3 / ---------- + ----- | |900*3 / ---------- + ----- |
\/ 150 27000 \ \/ 150 27000 / \ \/ 150 27000 / \/ 150 27000 \ \/ 150 27000 / \ \/ 150 27000 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{2}, \frac{361}{900 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}} + \frac{29}{30} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{218973}}{150} + \frac{84509}{27000}}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(40 x^{3} - 72 x^{2} + 3 x - 52\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(40 x^{3} - 72 x^{2} + 3 x - 52\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{67}{200 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}} + \frac{3}{5} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{431294}}{800} + \frac{1687}{2000}}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 16 - 60*x - 52*x^2 + x^3 - 12*x^4 + 4*x^5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = - 4 x^{5} - 12 x^{4} - x^{3} - 52 x^{2} + 60 x + 16$$
- Нет
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = 4 x^{5} + 12 x^{4} + x^{3} + 52 x^{2} - 60 x - 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = - 4 x^{5} - 12 x^{4} - x^{3} - 52 x^{2} + 60 x + 16$$
- Нет
$$4 x^{5} - 12 x^{4} + x^{3} - 52 x^{2} - 60 x + 16 = 4 x^{5} + 12 x^{4} + x^{3} + 52 x^{2} - 60 x - 16$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График