Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1/2*sin(2*x-pi/3)+1
- 1/3*(x^3-14*x^2+49*x-36)
-
x^4-8*x^3+18*x^2-48*x+31
-
x^4-2*x^3+1
-
Идентичные выражения
- один / два *sin(два *x-pi/ три)+ один
- 1 делить на 2 умножить на синус от (2 умножить на x минус число пи делить на 3) плюс 1
- один делить на два умножить на синус от (два умножить на x минус число пи делить на три) плюс один
- 1/2sin(2x-pi/3)+1
- 1/2sin2x-pi/3+1
- 1 разделить на 2*sin(2*x-pi разделить на 3)+1
-
Похожие выражения
- 1/2*sin(2*x+pi/3)+1
- 1/2*sin(2*x-pi/3)-1
- 1/2*sin(2*x)-pi/3+1
-
Что Вы имели ввиду?
- 13*sin((2*x - pi)/3)/2 + 1
- 13*sin(2*(x - pi)/3)/2 + 1
- 13*sin(2*x - pi/3)/2 + 1
- 13*sin(2*x - pi/3)/2 + 1
Вы ввели:
1/2*sin(2*x-pi/3)+1
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 1/2*sin(2*x-pi/3)+1
Решение
Вы ввели
[src]
/ pi\
sin|2*x - --|
\ 3 /
f(x) = ------------- + 1
2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1$$
f = sin(2*x - pi/3)/2 + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{12}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{12}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, 1/2) 12
5*pi (----, 3/2) 12
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{12}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5 \pi}{12}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{12}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{12}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1\right) = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle \frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(2*x - pi/3)/2 + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = - \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = - \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1$$
- Нет
$$\frac{\sin{\left(2 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{2} + 1 = \frac{\sin{\left(2 x + \frac{\pi}{3} \right)}}{2} - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График