Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (cos(x))^2
- |x|+1
- (x^2-9)
- x+(4/x)-4
-
Идентичные выражения
- (один / девять)*x*(x- четыре)^ два
- (1 делить на 9) умножить на x умножить на (x минус 4) в квадрате
- (один делить на девять) умножить на x умножить на (x минус четыре) в степени два
- (1/9)*x*(x-4)2
- 1/9*x*x-42
- (1/9)*x*(x-4)²
- (1/9)*x*(x-4) в степени 2
- (1/9)x(x-4)^2
- (1/9)x(x-4)2
- 1/9xx-42
- 1/9xx-4^2
- (1 разделить на 9)*x*(x-4)^2
-
Похожие выражения
- (1/9)*x*(x+4)^2
График функции y = (1/9)*x*(x-4)^2
Решение
Вы ввели
[src]
2
x*(x - 4)
f(x) = ----------
9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9}$$
f = x*(x - 1*4)^2/9
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \left(2 x - 8\right)}{9} + \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{4}{3}, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{x \left(2 x - 8\right)}{9} + \frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
$$x_{2} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
2
4*(-4 + 4/3)
(4/3, -------------)
27 2
4*(-4 + 4)
(4, -----------)
9 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{4}{3}\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{4}{3}, 4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(3 x - 8\right)}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{8}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{8}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(3 x - 8\right)}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{8}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{8}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{8}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*(x - 1*4)^2/9, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{9}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = - \frac{x \left(- x - 4\right)^{2}}{9}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = \frac{x \left(- x - 4\right)^{2}}{9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = - \frac{x \left(- x - 4\right)^{2}}{9}$$
- Нет
$$\frac{x \left(x - 4\right)^{2}}{9} = \frac{x \left(- x - 4\right)^{2}}{9}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График