Господин Экзамен

Вы ввели:

(|-1/x+3|)

Что Вы имели ввиду?

График функции y = (|-1/x+3|)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
       |  1    |
f(x) = |- - + 3|
       |  x    |
$$f{\left(x \right)} = \left|{3 - \frac{1}{x}}\right|$$
f = |3 - 1/x|
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в |-1/x + 3|.
$$\left|{3 - \frac{1}{0}}\right|$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \infty$$
зн.f не пересекает Y
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(3 - \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\frac{d}{d x} \operatorname{sign}{\left(3 - \frac{1}{x} \right)} - \frac{2 \operatorname{sign}{\left(3 - \frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{3 - \frac{1}{x}}\right| = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 3$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{3 - \frac{1}{x}}\right| = 3$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 3$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции |-1/x + 3|, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{3 - \frac{1}{x}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{3 - \frac{1}{x}}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| = \left|{3 + \frac{1}{x}}\right|$$
- Нет
$$\left|{3 - \frac{1}{x}}\right| = - \left|{3 + \frac{1}{x}}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (|-1/x+3|)