Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
-sin(x/2+1)
-
-((x^2+289)/x)
-
1/(x^2+1)
-
3*cos(x)
-
Идентичные выражения
- -sin(x/ два + один)
- минус синус от (x делить на 2 плюс 1)
- минус синус от (x делить на два плюс один)
- -sinx/2+1
- -sin(x разделить на 2+1)
-
Похожие выражения
- -sin(x/2-1)
- sin(x/2+1)
-
Что Вы имели ввиду?
- -sin(x/(2 + 1))
- -sin(x/2 + 1)
- -sin(x/2 + 1)
Вы ввели:
-sin(x/2+1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = -sin(x/2+1)
Решение
Вы ввели
[src]
/x \
f(x) = -sin|- + 1|
\2 /
$$f{\left(x \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}$$
f = -sin(x/2 + 1)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -14.5663706143592$$
$$x_{2} = 67.1150383789755$$
$$x_{3} = -108.814150222053$$
$$x_{4} = 41.9822971502571$$
$$x_{5} = -39.6991118430775$$
$$x_{6} = 29.4159265358979$$
$$x_{7} = 16.8495559215388$$
$$x_{8} = 10.5663706143592$$
$$x_{9} = 48.2654824574367$$
$$x_{10} = 98.5309649148734$$
$$x_{11} = -89.9645943005142$$
$$x_{12} = -45.9822971502571$$
$$x_{13} = 92.2477796076938$$
$$x_{14} = -77.398223686155$$
$$x_{15} = -2$$
$$x_{16} = -52.2654824574367$$
$$x_{17} = -96.2477796076938$$
$$x_{18} = -58.5486677646163$$
$$x_{19} = 35.6991118430775$$
$$x_{20} = 54.5486677646163$$
$$x_{21} = 79.6814089933346$$
$$x_{22} = -20.8495559215388$$
$$x_{23} = 4.28318530717959$$
$$x_{24} = -64.8318530717959$$
$$x_{25} = -228.194671058465$$
$$x_{26} = -33.4159265358979$$
$$x_{27} = -71.1150383789755$$
$$x_{28} = -8.28318530717959$$
$$x_{29} = 73.398223686155$$
$$x_{30} = -27.1327412287183$$
$$x_{31} = 60.8318530717959$$
$$x_{32} = -83.6814089933346$$
$$x_{33} = 85.9645943005142$$
$$x_{34} = 23.1327412287183$$
значит надо решить уравнение:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$
Численное решение
$$x_{1} = -14.5663706143592$$
$$x_{2} = 67.1150383789755$$
$$x_{3} = -108.814150222053$$
$$x_{4} = 41.9822971502571$$
$$x_{5} = -39.6991118430775$$
$$x_{6} = 29.4159265358979$$
$$x_{7} = 16.8495559215388$$
$$x_{8} = 10.5663706143592$$
$$x_{9} = 48.2654824574367$$
$$x_{10} = 98.5309649148734$$
$$x_{11} = -89.9645943005142$$
$$x_{12} = -45.9822971502571$$
$$x_{13} = 92.2477796076938$$
$$x_{14} = -77.398223686155$$
$$x_{15} = -2$$
$$x_{16} = -52.2654824574367$$
$$x_{17} = -96.2477796076938$$
$$x_{18} = -58.5486677646163$$
$$x_{19} = 35.6991118430775$$
$$x_{20} = 54.5486677646163$$
$$x_{21} = 79.6814089933346$$
$$x_{22} = -20.8495559215388$$
$$x_{23} = 4.28318530717959$$
$$x_{24} = -64.8318530717959$$
$$x_{25} = -228.194671058465$$
$$x_{26} = -33.4159265358979$$
$$x_{27} = -71.1150383789755$$
$$x_{28} = -8.28318530717959$$
$$x_{29} = 73.398223686155$$
$$x_{30} = -27.1327412287183$$
$$x_{31} = 60.8318530717959$$
$$x_{32} = -83.6814089933346$$
$$x_{33} = 85.9645943005142$$
$$x_{34} = 23.1327412287183$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + \pi$$
$$x_{2} = -2 + 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + 3 \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2 + \pi, -2 + 3 \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2 + \pi\right] \cup \left[-2 + 3 \pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + \pi$$
$$x_{2} = -2 + 3 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2 + pi, -1)
(-2 + 3*pi, 1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + 3 \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2 + \pi, -2 + 3 \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2 + \pi\right] \cup \left[-2 + 3 \pi, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-2, -2 + 2 \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-2 + 2 \pi, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -2 + 2 \pi$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-2, -2 + 2 \pi\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[-2 + 2 \pi, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции -sin(x/2 + 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
$$- \sin{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)} = - \sin{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График