График функции y = log(x-5)^2

Вы ввели [src]

          2       
f(x) = log (x - 5)

$$f{\left(x \right)} = \log{\left(x - 5 \right)}^{2}$$

f = log(x - 1*5)^2

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(x - 5 \right)}^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 6$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.00000024051372$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 5.99999998556171$$
$$x_{4} = 5.99999991566509$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в log(x - 1*5)^2.
$$\log{\left(\left(-1\right) 5 + 0 \right)}^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \left(\log{\left(5 \right)} + i \pi\right)^{2}$$
Точка:

(0, (pi*i + log(5))^2)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \log{\left(x - 5 \right)}}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:

       2         
(6, log (-5 + 6))

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[6, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 6\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(- \log{\left(x - 5 \right)} + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e + 5$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, e + 5\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[e + 5, \infty\right)$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(x - 5 \right)}^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(x - 5 \right)}^{2} = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(x - 1*5)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 5 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 5 \right)}^{2}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(x - 5 \right)}^{2} = \log{\left(- x - 5 \right)}^{2}$$
- Нет
$$\log{\left(x - 5 \right)}^{2} = - \log{\left(- x - 5 \right)}^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = log(x-5)^2

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение