Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x)-3
-
log(x)^2
- 1/4
- log(1-2*cos(x))
- Производная:
-
log(1-2*cos(x))
-
Идентичные выражения
- log(один - два *cos(x))
- логарифм от (1 минус 2 умножить на косинус от (x))
- логарифм от (один минус два умножить на косинус от (x))
- log(1-2cos(x))
- log1-2cosx
-
Похожие выражения
- log(1+2*cos(x))
- log(1-2*cosx)
График функции y = log(1-2*cos(x))
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = log(1 - 2*cos(x))
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
f = log(1 - 2*cos(x))
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.9955742875643$$
$$x_{2} = 70.6858347057703$$
$$x_{3} = -32.9867228626928$$
$$x_{4} = -42.4115008234622$$
$$x_{5} = -70.6858347057703$$
$$x_{6} = -98.9601685880785$$
$$x_{7} = 95.8185759344887$$
$$x_{8} = -29.845130209103$$
$$x_{9} = -86.3937979737193$$
$$x_{10} = 80.1106126665397$$
$$x_{11} = -1.5707963267949$$
$$x_{12} = -73.8274273593601$$
$$x_{13} = 83.2522053201295$$
$$x_{14} = 10.9955742875643$$
$$x_{15} = 76.9690200129499$$
$$x_{16} = -61.261056745001$$
$$x_{17} = -7.85398163397448$$
$$x_{18} = 45.553093477052$$
$$x_{19} = 73.8274273593601$$
$$x_{20} = 20.4203522483337$$
$$x_{21} = -14.1371669411541$$
$$x_{22} = 39.2699081698724$$
$$x_{23} = -76.9690200129499$$
$$x_{24} = 29.845130209103$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = 86.3937979737193$$
$$x_{27} = 14.1371669411541$$
$$x_{28} = -45.553093477052$$
$$x_{29} = 92.6769832808989$$
$$x_{30} = 1.5707963267949$$
$$x_{31} = 7.85398163397448$$
$$x_{32} = -36.1283155162826$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 64.4026493985908$$
$$x_{35} = -95.8185759344887$$
$$x_{36} = 32.9867228626928$$
$$x_{37} = -54.9778714378214$$
$$x_{38} = 67.5442420521806$$
$$x_{39} = -48.6946861306418$$
$$x_{40} = 4.71238898038469$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = -51.8362787842316$$
$$x_{43} = -39.2699081698724$$
$$x_{44} = -80.1106126665397$$
$$x_{45} = -17.2787595947439$$
$$x_{46} = -92.6769832808989$$
$$x_{47} = 48.6946861306418$$
$$x_{48} = -58.1194640914112$$
$$x_{49} = 23.5619449019235$$
$$x_{50} = -67.5442420521806$$
$$x_{51} = -26.7035375555132$$
$$x_{52} = -20.4203522483337$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = 89.5353906273091$$
$$x_{55} = 17.2787595947439$$
$$x_{56} = 61.261056745001$$
$$x_{57} = -89.5353906273091$$
$$x_{58} = 54.9778714378214$$
$$x_{59} = -64.4026493985908$$
$$x_{60} = 42.4115008234622$$
$$x_{61} = 58.1194640914112$$
$$x_{62} = 51.8362787842316$$
$$x_{63} = 859.225590756808$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -23.5619449019235$$
значит надо решить уравнение:
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -10.9955742875643$$
$$x_{2} = 70.6858347057703$$
$$x_{3} = -32.9867228626928$$
$$x_{4} = -42.4115008234622$$
$$x_{5} = -70.6858347057703$$
$$x_{6} = -98.9601685880785$$
$$x_{7} = 95.8185759344887$$
$$x_{8} = -29.845130209103$$
$$x_{9} = -86.3937979737193$$
$$x_{10} = 80.1106126665397$$
$$x_{11} = -1.5707963267949$$
$$x_{12} = -73.8274273593601$$
$$x_{13} = 83.2522053201295$$
$$x_{14} = 10.9955742875643$$
$$x_{15} = 76.9690200129499$$
$$x_{16} = -61.261056745001$$
$$x_{17} = -7.85398163397448$$
$$x_{18} = 45.553093477052$$
$$x_{19} = 73.8274273593601$$
$$x_{20} = 20.4203522483337$$
$$x_{21} = -14.1371669411541$$
$$x_{22} = 39.2699081698724$$
$$x_{23} = -76.9690200129499$$
$$x_{24} = 29.845130209103$$
$$x_{25} = 98.9601685880785$$
$$x_{26} = 86.3937979737193$$
$$x_{27} = 14.1371669411541$$
$$x_{28} = -45.553093477052$$
$$x_{29} = 92.6769832808989$$
$$x_{30} = 1.5707963267949$$
$$x_{31} = 7.85398163397448$$
$$x_{32} = -36.1283155162826$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 64.4026493985908$$
$$x_{35} = -95.8185759344887$$
$$x_{36} = 32.9867228626928$$
$$x_{37} = -54.9778714378214$$
$$x_{38} = 67.5442420521806$$
$$x_{39} = -48.6946861306418$$
$$x_{40} = 4.71238898038469$$
$$x_{41} = 36.1283155162826$$
$$x_{42} = -51.8362787842316$$
$$x_{43} = -39.2699081698724$$
$$x_{44} = -80.1106126665397$$
$$x_{45} = -17.2787595947439$$
$$x_{46} = -92.6769832808989$$
$$x_{47} = 48.6946861306418$$
$$x_{48} = -58.1194640914112$$
$$x_{49} = 23.5619449019235$$
$$x_{50} = -67.5442420521806$$
$$x_{51} = -26.7035375555132$$
$$x_{52} = -20.4203522483337$$
$$x_{53} = 26.7035375555132$$
$$x_{54} = 89.5353906273091$$
$$x_{55} = 17.2787595947439$$
$$x_{56} = 61.261056745001$$
$$x_{57} = -89.5353906273091$$
$$x_{58} = 54.9778714378214$$
$$x_{59} = -64.4026493985908$$
$$x_{60} = 42.4115008234622$$
$$x_{61} = 58.1194640914112$$
$$x_{62} = 51.8362787842316$$
$$x_{63} = 859.225590756808$$
$$x_{64} = -83.2522053201295$$
$$x_{65} = -23.5619449019235$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{- 2 \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{- 2 \cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, I*pi)
(pi, log(3))
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \pi\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\pi, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{2 \left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 \cos{\left(x \right)} - 1}\right)}{2 \cos{\left(x \right)} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \lim_{x \to -\infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \lim_{x \to \infty} \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции log(1 - 2*cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
- Да
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = - \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
- Да
$$\log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)} = - \log{\left(- 2 \cos{\left(x \right)} + 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной