График функции y = sqrt(x+1)-(1/x)

Вы ввели [src]

         _______     1
f(x) = \/ x + 1  - 1*-
                     x

$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x}$$

f = sqrt(x + 1) - 1/x

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.754877666246693$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в sqrt(x + 1) - 1/x.
$$\sqrt{0 + 1} - 1 \cdot \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- (\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{3}}) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} + 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(- (\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{3}})\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- (\frac{1}{4 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{x^{3}})\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{2} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} + 2\right]$$

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sqrt(x + 1) - 1/x, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x} = \sqrt{- x + 1} + \frac{1}{x}$$
- Нет
$$\sqrt{x + 1} - 1 \cdot \frac{1}{x} = - \sqrt{- x + 1} - \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = sqrt(x+1)-(1/x)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение