Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x^(-5)
-
(3*x^2-10)/(3-2*x)
- 6/(sin(x)^(2)+2*sin(x)+3)
- (x+17)^2
-
Идентичные выражения
- cot(x/ два +x/ четыре)
- котангенс от (x делить на 2 плюс x делить на 4)
- котангенс от (x делить на два плюс x делить на четыре)
- cotx/2+x/4
- cot(x разделить на 2+x разделить на 4)
-
Похожие выражения
- cot(x/2-x/4)
График функции y = cot(x/2+x/4)
Решение
Вы ввели
[src]
/x x\
f(x) = cot|- + -|
\2 4/
$$f{\left(x \right)} = \cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}$$
f = cot(x/4 + x/2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.0943951023932$$
$$x_{2} = 73.3038285837618$$
$$x_{3} = -56.5486677646163$$
$$x_{4} = 94.2477796076938$$
$$x_{5} = -6.28318530717959$$
$$x_{6} = 31.4159265358979$$
$$x_{7} = 85.870199198121$$
$$x_{8} = 77.4926187885482$$
$$x_{9} = -23.0383461263252$$
$$x_{10} = -10.471975511966$$
$$x_{11} = -14.6607657167524$$
$$x_{12} = -85.870199198121$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 6.28318530717959$$
$$x_{15} = -60.7374579694027$$
$$x_{16} = -94.2477796076938$$
$$x_{17} = 90.0589894029074$$
$$x_{18} = 23.0383461263252$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = -39.7935069454707$$
$$x_{21} = 10.471975511966$$
$$x_{22} = 27.2271363311115$$
$$x_{23} = -64.9262481741891$$
$$x_{24} = -73.3038285837618$$
$$x_{25} = -77.4926187885482$$
$$x_{26} = -48.1710873550435$$
$$x_{27} = -43.9822971502571$$
$$x_{28} = 48.1710873550435$$
$$x_{29} = -98.4365698124802$$
$$x_{30} = -69.1150383789755$$
$$x_{31} = 81.6814089933346$$
$$x_{32} = 14.6607657167524$$
$$x_{33} = -81.6814089933346$$
$$x_{34} = -90.0589894029074$$
$$x_{35} = 18.8495559215388$$
$$x_{36} = 60.7374579694027$$
$$x_{37} = 35.6047167406843$$
$$x_{38} = 39.7935069454707$$
$$x_{39} = -2.0943951023932$$
$$x_{40} = -27.2271363311115$$
$$x_{41} = 64.9262481741891$$
$$x_{42} = 98.4365698124802$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = -35.6047167406843$$
$$x_{45} = 56.5486677646163$$
$$x_{46} = -52.3598775598299$$
$$x_{47} = 52.3598775598299$$
$$x_{48} = 69.1150383789755$$
значит надо решить уравнение:
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Численное решение
$$x_{1} = 2.0943951023932$$
$$x_{2} = 73.3038285837618$$
$$x_{3} = -56.5486677646163$$
$$x_{4} = 94.2477796076938$$
$$x_{5} = -6.28318530717959$$
$$x_{6} = 31.4159265358979$$
$$x_{7} = 85.870199198121$$
$$x_{8} = 77.4926187885482$$
$$x_{9} = -23.0383461263252$$
$$x_{10} = -10.471975511966$$
$$x_{11} = -14.6607657167524$$
$$x_{12} = -85.870199198121$$
$$x_{13} = -18.8495559215388$$
$$x_{14} = 6.28318530717959$$
$$x_{15} = -60.7374579694027$$
$$x_{16} = -94.2477796076938$$
$$x_{17} = 90.0589894029074$$
$$x_{18} = 23.0383461263252$$
$$x_{19} = -31.4159265358979$$
$$x_{20} = -39.7935069454707$$
$$x_{21} = 10.471975511966$$
$$x_{22} = 27.2271363311115$$
$$x_{23} = -64.9262481741891$$
$$x_{24} = -73.3038285837618$$
$$x_{25} = -77.4926187885482$$
$$x_{26} = -48.1710873550435$$
$$x_{27} = -43.9822971502571$$
$$x_{28} = 48.1710873550435$$
$$x_{29} = -98.4365698124802$$
$$x_{30} = -69.1150383789755$$
$$x_{31} = 81.6814089933346$$
$$x_{32} = 14.6607657167524$$
$$x_{33} = -81.6814089933346$$
$$x_{34} = -90.0589894029074$$
$$x_{35} = 18.8495559215388$$
$$x_{36} = 60.7374579694027$$
$$x_{37} = 35.6047167406843$$
$$x_{38} = 39.7935069454707$$
$$x_{39} = -2.0943951023932$$
$$x_{40} = -27.2271363311115$$
$$x_{41} = 64.9262481741891$$
$$x_{42} = 98.4365698124802$$
$$x_{43} = 43.9822971502571$$
$$x_{44} = -35.6047167406843$$
$$x_{45} = 56.5486677646163$$
$$x_{46} = -52.3598775598299$$
$$x_{47} = 52.3598775598299$$
$$x_{48} = 69.1150383789755$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{3}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{3}{4} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно экстремумов у функции нет
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{9 \left(\cot^{2}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{9 \left(\cot^{2}{\left(\frac{3 x}{4} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}}{8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{2 \pi}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cot(x/2 + x/4), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = - \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = - \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}$$
- Нет
$$\cot{\left(\frac{x}{4} + \frac{x}{2} \right)} = \cot{\left(\frac{3 x}{4} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График