Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
- (16*x^2)/(x-4)
-
sqrt(sin(3*x))
- Интеграл d{x}:
-
cos(x)/(2+sin(x))
- Производная:
-
cos(x)/(2+sin(x))
-
Идентичные выражения
- cos(x)/(два +sin(x))
- косинус от (x) делить на (2 плюс синус от (x))
- косинус от (x) делить на (два плюс синус от (x))
- cosx/2+sinx
- cos(x) разделить на (2+sin(x))
-
Похожие выражения
- cos(x)/(2-sin(x))
- cosx/(2+sinx)
График функции y = cos(x)/(2+sin(x))
Решение
Вы ввели
[src]
cos(x)
f(x) = ----------
2 + sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}$$
f = cos(x)/(sin(x) + 2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -48.6946861306418$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = -212.057504117311$$
$$x_{4} = 20.4203522483337$$
$$x_{5} = -20.4203522483337$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = 64.4026493985908$$
$$x_{8} = -80.1106126665397$$
$$x_{9} = -10.9955742875643$$
$$x_{10} = -54.9778714378214$$
$$x_{11} = -23.5619449019235$$
$$x_{12} = -7.85398163397448$$
$$x_{13} = -36.1283155162826$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = 26.7035375555132$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = 58.1194640914112$$
$$x_{18} = 14.1371669411541$$
$$x_{19} = -39.2699081698724$$
$$x_{20} = -83.2522053201295$$
$$x_{21} = 83.2522053201295$$
$$x_{22} = -64.4026493985908$$
$$x_{23} = -29.845130209103$$
$$x_{24} = 48.6946861306418$$
$$x_{25} = -1.5707963267949$$
$$x_{26} = 4.71238898038469$$
$$x_{27} = -45.553093477052$$
$$x_{28} = -14.1371669411541$$
$$x_{29} = 70.6858347057703$$
$$x_{30} = 86.3937979737193$$
$$x_{31} = 1.5707963267949$$
$$x_{32} = 95.8185759344887$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 7.85398163397448$$
$$x_{35} = 92.6769832808989$$
$$x_{36} = -67.5442420521806$$
$$x_{37} = -42.4115008234622$$
$$x_{38} = 89.5353906273091$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = -51.8362787842316$$
$$x_{41} = -58.1194640914112$$
$$x_{42} = 17.2787595947439$$
$$x_{43} = -95.8185759344887$$
$$x_{44} = 32.9867228626928$$
$$x_{45} = -61.261056745001$$
$$x_{46} = -98.9601685880785$$
$$x_{47} = 39.2699081698724$$
$$x_{48} = -89.5353906273091$$
$$x_{49} = -92.6769832808989$$
$$x_{50} = -73.8274273593601$$
$$x_{51} = 102.101761241668$$
$$x_{52} = -17.2787595947439$$
$$x_{53} = 29.845130209103$$
$$x_{54} = 67.5442420521806$$
$$x_{55} = 80.1106126665397$$
$$x_{56} = 36.1283155162826$$
$$x_{57} = 42.4115008234622$$
$$x_{58} = -86.3937979737193$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -48.6946861306418$$
$$x_{2} = 73.8274273593601$$
$$x_{3} = -212.057504117311$$
$$x_{4} = 20.4203522483337$$
$$x_{5} = -20.4203522483337$$
$$x_{6} = 45.553093477052$$
$$x_{7} = 64.4026493985908$$
$$x_{8} = -80.1106126665397$$
$$x_{9} = -10.9955742875643$$
$$x_{10} = -54.9778714378214$$
$$x_{11} = -23.5619449019235$$
$$x_{12} = -7.85398163397448$$
$$x_{13} = -36.1283155162826$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = 26.7035375555132$$
$$x_{16} = 23.5619449019235$$
$$x_{17} = 58.1194640914112$$
$$x_{18} = 14.1371669411541$$
$$x_{19} = -39.2699081698724$$
$$x_{20} = -83.2522053201295$$
$$x_{21} = 83.2522053201295$$
$$x_{22} = -64.4026493985908$$
$$x_{23} = -29.845130209103$$
$$x_{24} = 48.6946861306418$$
$$x_{25} = -1.5707963267949$$
$$x_{26} = 4.71238898038469$$
$$x_{27} = -45.553093477052$$
$$x_{28} = -14.1371669411541$$
$$x_{29} = 70.6858347057703$$
$$x_{30} = 86.3937979737193$$
$$x_{31} = 1.5707963267949$$
$$x_{32} = 95.8185759344887$$
$$x_{33} = -4.71238898038469$$
$$x_{34} = 7.85398163397448$$
$$x_{35} = 92.6769832808989$$
$$x_{36} = -67.5442420521806$$
$$x_{37} = -42.4115008234622$$
$$x_{38} = 89.5353906273091$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = -51.8362787842316$$
$$x_{41} = -58.1194640914112$$
$$x_{42} = 17.2787595947439$$
$$x_{43} = -95.8185759344887$$
$$x_{44} = 32.9867228626928$$
$$x_{45} = -61.261056745001$$
$$x_{46} = -98.9601685880785$$
$$x_{47} = 39.2699081698724$$
$$x_{48} = -89.5353906273091$$
$$x_{49} = -92.6769832808989$$
$$x_{50} = -73.8274273593601$$
$$x_{51} = 102.101761241668$$
$$x_{52} = -17.2787595947439$$
$$x_{53} = 29.845130209103$$
$$x_{54} = 67.5442420521806$$
$$x_{55} = 80.1106126665397$$
$$x_{56} = 36.1283155162826$$
$$x_{57} = 42.4115008234622$$
$$x_{58} = -86.3937979737193$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{\left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ -5*pi -\/ 3 (------, -------) 6 3
___ -pi \/ 3 (----, -----) 6 3
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{5 \pi}{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{5 \pi}{6}, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{5 \pi}{6}\right] \cup \left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(-1 + \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}}{\sin{\left(x \right)} + 2} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(-1 + \frac{\sin{\left(x \right)} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}}{\sin{\left(x \right)} + 2} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(x)/(2 + sin(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x \right)}}{x \left(\sin{\left(x \right)} + 2\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$
- Нет
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$
- Нет
$$\frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)} + 2} = - \frac{\cos{\left(x \right)}}{- \sin{\left(x \right)} + 2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График