Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
- 2-1
-
20*sqrt(2*y)
-
cos(3*pi*x)
-
Идентичные выражения
- cos(три *pi*x)
- косинус от (3 умножить на число пи умножить на x)
- косинус от (три умножить на число пи умножить на x)
- cos(3pix)
- cos3pix
График функции y = cos(3*pi*x)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = cos(3*pi*x)
$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}$$
f = cos(3*pi*x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 90.1666666666667$$
$$x_{2} = -89.8333333333333$$
$$x_{3} = 48.1666666666667$$
$$x_{4} = 6.16666666666667$$
$$x_{5} = 80.1666666666667$$
$$x_{6} = 92.1666666666667$$
$$x_{7} = 10.1666666666667$$
$$x_{8} = 16.1666666666667$$
$$x_{9} = -67.8333333333333$$
$$x_{10} = -27.8333333333333$$
$$x_{11} = 38.1666666666667$$
$$x_{12} = -9.83333333333333$$
$$x_{13} = 60.1666666666667$$
$$x_{14} = -99.8333333333333$$
$$x_{15} = -43.8333333333333$$
$$x_{16} = 46.1666666666667$$
$$x_{17} = -91.8333333333333$$
$$x_{18} = 2.16666666666667$$
$$x_{19} = 76.1666666666667$$
$$x_{20} = -81.8333333333333$$
$$x_{21} = 14.1666666666667$$
$$x_{22} = 36.1666666666667$$
$$x_{23} = -35.8333333333333$$
$$x_{24} = -15.8333333333333$$
$$x_{25} = -59.8333333333333$$
$$x_{26} = -17.8333333333333$$
$$x_{27} = 56.1666666666667$$
$$x_{28} = -75.8333333333333$$
$$x_{29} = -73.8333333333333$$
$$x_{30} = -49.8333333333333$$
$$x_{31} = 52.1666666666667$$
$$x_{32} = -13.8333333333333$$
$$x_{33} = -47.8333333333333$$
$$x_{34} = 70.1666666666667$$
$$x_{35} = 24.1666666666667$$
$$x_{36} = 78.1666666666667$$
$$x_{37} = 58.1666666666667$$
$$x_{38} = 28.1666666666667$$
$$x_{39} = 34.1666666666667$$
$$x_{40} = -1.83333333333333$$
$$x_{41} = -65.8333333333333$$
$$x_{42} = 72.1666666666667$$
$$x_{43} = -41.8333333333333$$
$$x_{44} = 68.1666666666667$$
$$x_{45} = 66.1666666666667$$
$$x_{46} = 98.1666666666667$$
$$x_{47} = 74.1666666666667$$
$$x_{48} = -69.8333333333333$$
$$x_{49} = -57.8333333333333$$
$$x_{50} = 20.1666666666667$$
$$x_{51} = -93.8333333333333$$
$$x_{52} = -87.8333333333333$$
$$x_{53} = -51.8333333333333$$
$$x_{54} = -71.8333333333333$$
$$x_{55} = 84.1666666666667$$
$$x_{56} = -29.8333333333333$$
$$x_{57} = -11.8333333333333$$
$$x_{58} = 18.1666666666667$$
$$x_{59} = -31.8333333333333$$
$$x_{60} = -23.8333333333333$$
$$x_{61} = -37.8333333333333$$
$$x_{62} = 0.166666666666667$$
$$x_{63} = 54.1666666666667$$
$$x_{64} = 8.16666666666667$$
$$x_{65} = -63.8333333333333$$
$$x_{66} = 100.166666666667$$
$$x_{67} = 50.1666666666667$$
$$x_{68} = 96.1666666666667$$
$$x_{69} = -61.8333333333333$$
$$x_{70} = -95.8333333333333$$
$$x_{71} = -79.8333333333333$$
$$x_{72} = -85.8333333333333$$
$$x_{73} = -39.8333333333333$$
$$x_{74} = 94.1666666666667$$
$$x_{75} = -55.8333333333333$$
$$x_{76} = 26.1666666666667$$
$$x_{77} = -25.8333333333333$$
$$x_{78} = -97.8333333333333$$
$$x_{79} = 86.1666666666667$$
$$x_{80} = -3.83333333333333$$
$$x_{81} = -5.83333333333333$$
$$x_{82} = 62.1666666666667$$
$$x_{83} = -45.8333333333333$$
$$x_{84} = 40.1666666666667$$
$$x_{85} = 22.1666666666667$$
$$x_{86} = 64.1666666666667$$
$$x_{87} = 30.1666666666667$$
$$x_{88} = 4.16666666666667$$
$$x_{89} = 12.1666666666667$$
$$x_{90} = -19.8333333333333$$
$$x_{91} = -7.83333333333333$$
$$x_{92} = 82.1666666666667$$
$$x_{93} = 44.1666666666667$$
$$x_{94} = -53.8333333333333$$
$$x_{95} = 42.1666666666667$$
$$x_{96} = 88.1666666666667$$
$$x_{97} = -33.8333333333333$$
$$x_{98} = 32.1666666666667$$
$$x_{99} = -77.8333333333333$$
$$x_{100} = -83.8333333333333$$
$$x_{101} = -21.8333333333333$$
значит надо решить уравнение:
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 90.1666666666667$$
$$x_{2} = -89.8333333333333$$
$$x_{3} = 48.1666666666667$$
$$x_{4} = 6.16666666666667$$
$$x_{5} = 80.1666666666667$$
$$x_{6} = 92.1666666666667$$
$$x_{7} = 10.1666666666667$$
$$x_{8} = 16.1666666666667$$
$$x_{9} = -67.8333333333333$$
$$x_{10} = -27.8333333333333$$
$$x_{11} = 38.1666666666667$$
$$x_{12} = -9.83333333333333$$
$$x_{13} = 60.1666666666667$$
$$x_{14} = -99.8333333333333$$
$$x_{15} = -43.8333333333333$$
$$x_{16} = 46.1666666666667$$
$$x_{17} = -91.8333333333333$$
$$x_{18} = 2.16666666666667$$
$$x_{19} = 76.1666666666667$$
$$x_{20} = -81.8333333333333$$
$$x_{21} = 14.1666666666667$$
$$x_{22} = 36.1666666666667$$
$$x_{23} = -35.8333333333333$$
$$x_{24} = -15.8333333333333$$
$$x_{25} = -59.8333333333333$$
$$x_{26} = -17.8333333333333$$
$$x_{27} = 56.1666666666667$$
$$x_{28} = -75.8333333333333$$
$$x_{29} = -73.8333333333333$$
$$x_{30} = -49.8333333333333$$
$$x_{31} = 52.1666666666667$$
$$x_{32} = -13.8333333333333$$
$$x_{33} = -47.8333333333333$$
$$x_{34} = 70.1666666666667$$
$$x_{35} = 24.1666666666667$$
$$x_{36} = 78.1666666666667$$
$$x_{37} = 58.1666666666667$$
$$x_{38} = 28.1666666666667$$
$$x_{39} = 34.1666666666667$$
$$x_{40} = -1.83333333333333$$
$$x_{41} = -65.8333333333333$$
$$x_{42} = 72.1666666666667$$
$$x_{43} = -41.8333333333333$$
$$x_{44} = 68.1666666666667$$
$$x_{45} = 66.1666666666667$$
$$x_{46} = 98.1666666666667$$
$$x_{47} = 74.1666666666667$$
$$x_{48} = -69.8333333333333$$
$$x_{49} = -57.8333333333333$$
$$x_{50} = 20.1666666666667$$
$$x_{51} = -93.8333333333333$$
$$x_{52} = -87.8333333333333$$
$$x_{53} = -51.8333333333333$$
$$x_{54} = -71.8333333333333$$
$$x_{55} = 84.1666666666667$$
$$x_{56} = -29.8333333333333$$
$$x_{57} = -11.8333333333333$$
$$x_{58} = 18.1666666666667$$
$$x_{59} = -31.8333333333333$$
$$x_{60} = -23.8333333333333$$
$$x_{61} = -37.8333333333333$$
$$x_{62} = 0.166666666666667$$
$$x_{63} = 54.1666666666667$$
$$x_{64} = 8.16666666666667$$
$$x_{65} = -63.8333333333333$$
$$x_{66} = 100.166666666667$$
$$x_{67} = 50.1666666666667$$
$$x_{68} = 96.1666666666667$$
$$x_{69} = -61.8333333333333$$
$$x_{70} = -95.8333333333333$$
$$x_{71} = -79.8333333333333$$
$$x_{72} = -85.8333333333333$$
$$x_{73} = -39.8333333333333$$
$$x_{74} = 94.1666666666667$$
$$x_{75} = -55.8333333333333$$
$$x_{76} = 26.1666666666667$$
$$x_{77} = -25.8333333333333$$
$$x_{78} = -97.8333333333333$$
$$x_{79} = 86.1666666666667$$
$$x_{80} = -3.83333333333333$$
$$x_{81} = -5.83333333333333$$
$$x_{82} = 62.1666666666667$$
$$x_{83} = -45.8333333333333$$
$$x_{84} = 40.1666666666667$$
$$x_{85} = 22.1666666666667$$
$$x_{86} = 64.1666666666667$$
$$x_{87} = 30.1666666666667$$
$$x_{88} = 4.16666666666667$$
$$x_{89} = 12.1666666666667$$
$$x_{90} = -19.8333333333333$$
$$x_{91} = -7.83333333333333$$
$$x_{92} = 82.1666666666667$$
$$x_{93} = 44.1666666666667$$
$$x_{94} = -53.8333333333333$$
$$x_{95} = 42.1666666666667$$
$$x_{96} = 88.1666666666667$$
$$x_{97} = -33.8333333333333$$
$$x_{98} = 32.1666666666667$$
$$x_{99} = -77.8333333333333$$
$$x_{100} = -83.8333333333333$$
$$x_{101} = -21.8333333333333$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \pi \sin{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{1}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 3 \pi \sin{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1)
(1/3, -1)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \frac{1}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 9 \pi^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{6}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 9 \pi^{2} \cos{\left(3 \pi x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{6}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(3 \pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(3 \pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(3 \pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty} \cos{\left(3 \pi x \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции cos(3*pi*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(3 \pi x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = - \cos{\left(3 \pi x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = \cos{\left(3 \pi x \right)}$$
- Да
$$\cos{\left(3 \pi x \right)} = - \cos{\left(3 \pi x \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График