Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- log(x)^(2)
- (|x-5|)
-
x^2*(log(x))
- (x-1)/(sqrt(x))
-
Идентичные выражения
- (два *x+ три)/((x- один)^ два)
- (2 умножить на x плюс 3) делить на ((x минус 1) в квадрате )
- (два умножить на x плюс три) делить на ((x минус один) в степени два)
- (2*x+3)/((x-1)2)
- 2*x+3/x-12
- (2*x+3)/((x-1)²)
- (2*x+3)/((x-1) в степени 2)
- (2x+3)/((x-1)^2)
- (2x+3)/((x-1)2)
- 2x+3/x-12
- 2x+3/x-1^2
- (2*x+3) разделить на ((x-1)^2)
-
Похожие выражения
- (2*x+3)/((x+1)^2)
- (2*x-3)/((x-1)^2)
График функции y = (2*x+3)/((x-1)^2)
Решение
Вы ввели
[src]
2*x + 3
f(x) = --------
2
(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}$$
f = (2*x + 3)/((x - 1*1)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -1.5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(2 x + 3\right)}{\left(x - 1\right)^{4}} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
Зн. экстремумы в точках:
-5
(-4, ---------)
2
(-4 - 1) Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{13}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{13}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{13}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(-4 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 3\right)}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{13}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{13}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x + 3)/((x - 1*1)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{- 2 x + 3}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{- 2 x + 3}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = \frac{- 2 x + 3}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{2 x + 3}{\left(x - 1\right)^{2}} = - \frac{- 2 x + 3}{\left(- x - 1\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График