Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x)-3
-
log(x)^2
-
n^2
- (2*x+1)/(sqrt(x-1))
- Производная:
- (2*x+1)/(sqrt(x-1))
-
Идентичные выражения
- (два *x+ один)/(sqrt(x- один))
- (2 умножить на x плюс 1) делить на ( квадратный корень из (x минус 1))
- (два умножить на x плюс один) делить на ( квадратный корень из (x минус один))
- (2*x+1)/(√(x-1))
- (2x+1)/(sqrt(x-1))
- 2x+1/sqrtx-1
- (2*x+1) разделить на (sqrt(x-1))
-
Похожие выражения
- (2*x+1)/sqrt(x-1)
- (2*x+1)/(sqrt(x+1))
- (2*x-1)/(sqrt(x-1))
График функции y = (2*x+1)/(sqrt(x-1))
Решение
Вы ввели
[src]
2*x + 1
f(x) = ---------
_______
\/ x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}$$
f = (2*x + 1)/(sqrt(x - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2 x + 1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2 x + 1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
6
(5/2, ------------)
__________
\/ -1 + 5/2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-2 + \frac{3 \cdot \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 1$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x + 1)/(sqrt(x - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{- 2 x + 1}{\sqrt{- x - 1}}$$
- Нет
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{- 2 x + 1}{\sqrt{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{- 2 x + 1}{\sqrt{- x - 1}}$$
- Нет
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{- 2 x + 1}{\sqrt{- x - 1}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной