Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- sqrt(x-1)
-
3*(|x+8|)-x^2-14*x-48
-
(2*x-1)/(x^2-8*x+15)
-
log(1/x)
- Производная:
-
(2*x-1)/(x^2-8*x+15)
-
Идентичные выражения
- (два *x- один)/(x^ два - восемь *x+ пятнадцать)
- (2 умножить на x минус 1) делить на (x в квадрате минус 8 умножить на x плюс 15)
- (два умножить на x минус один) делить на (x в степени два минус восемь умножить на x плюс пятнадцать)
- (2*x-1)/(x2-8*x+15)
- 2*x-1/x2-8*x+15
- (2*x-1)/(x²-8*x+15)
- (2*x-1)/(x в степени 2-8*x+15)
- (2x-1)/(x^2-8x+15)
- (2x-1)/(x2-8x+15)
- 2x-1/x2-8x+15
- 2x-1/x^2-8x+15
- (2*x-1) разделить на (x^2-8*x+15)
-
Похожие выражения
- (2*x-1)/(x^2-8*x-15)
- (2*x-1)/(x^2+8*x+15)
- (2*x+1)/(x^2-8*x+15)
- (2*x-1)/((x^2)-8*x+15)
График функции y = (2*x-1)/(x^2-8*x+15)
Решение
Вы ввели
[src]
2*x - 1
f(x) = -------------
2
x - 8*x + 15
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15}$$
f = (2*x - 1*1)/(x^2 - 8*x + 15)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 8\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{\left(- 2 x + 8\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}} + \frac{2}{x^{2} - 8 x + 15} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
___ ___
3*\/ 5 1 - 3*\/ 5 - 1 + 1
(- ------- + -, --------------------------------)
2 2 2
/ ___ \
| 3*\/ 5 1| ___
|- ------- + -| + 11 + 12*\/ 5
\ 2 2/ ___ ___
1 3*\/ 5 -1 + 1 + 3*\/ 5
(- + -------, --------------------------------)
2 2 2
/ ___\
___ |1 3*\/ 5 |
- 12*\/ 5 + 11 + |- + -------|
\2 2 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 5^-}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 5^+}\left(\frac{2 \left(\left(2 x - 1\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 15} - 1\right) - 4 x + 16\right)}{\left(x^{2} - 8 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 5$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} - \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{1}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (2*x - 1*1)/(x^2 - 8*x + 15), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 1}{x \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = \frac{- 2 x - 1}{x^{2} + 8 x + 15}$$
- Нет
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = - \frac{- 2 x - 1}{x^{2} + 8 x + 15}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = \frac{- 2 x - 1}{x^{2} + 8 x + 15}$$
- Нет
$$\frac{2 x - 1}{x^{2} - 8 x + 15} = - \frac{- 2 x - 1}{x^{2} + 8 x + 15}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График