Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3-243*x+19
-
2*x^3+5*x^2
-
(4*x^2+5)/(4*x+8)
-
-47/x
-
Идентичные выражения
- (четыре *x^ два + пять)/(четыре *x+ восемь)
- (4 умножить на x в квадрате плюс 5) делить на (4 умножить на x плюс 8)
- (четыре умножить на x в степени два плюс пять) делить на (четыре умножить на x плюс восемь)
- (4*x2+5)/(4*x+8)
- 4*x2+5/4*x+8
- (4*x²+5)/(4*x+8)
- (4*x в степени 2+5)/(4*x+8)
- (4x^2+5)/(4x+8)
- (4x2+5)/(4x+8)
- 4x2+5/4x+8
- 4x^2+5/4x+8
- (4*x^2+5) разделить на (4*x+8)
-
Похожие выражения
- (4*x^2-5)/(4*x+8)
- (4*x^2+5)/(4*x-8)
График функции y = (4*x^2+5)/(4*x+8)
Решение
Вы ввели
[src]
2
4*x + 5
f(x) = --------
4*x + 8
$$f{\left(x \right)} = \frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}$$
f = (4*x^2 + 5)/(4*x + 8)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{8 x}{4 x + 8} - \frac{4 \cdot \left(4 x^{2} + 5\right)}{\left(4 x + 8\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{21}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{2} - 2, -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{8 x}{4 x + 8} - \frac{4 \cdot \left(4 x^{2} + 5\right)}{\left(4 x + 8\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Зн. экстремумы в точках:
/ 2 \
| / ____\ |
____ | | \/ 21 | |
____ \/ 21 *|4*|-2 + ------| + 5|
\/ 21 \ \ 2 / /
(-2 + ------, -----------------------------)
2 42 / 2\
| / ____ \ |
____ | | \/ 21 | |
____ -\/ 21 *|5 + 4*|- ------ - 2| |
\/ 21 \ \ 2 / /
(- ------ - 2, --------------------------------)
2 42 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{21}}{2} - 2\right] \cup \left[-2 + \frac{\sqrt{21}}{2}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{21}}{2} - 2, -2 + \frac{\sqrt{21}}{2}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{4 x}{x + 2} + 2 + \frac{4 x^{2} + 5}{2 \left(x + 2\right)^{2}}}{x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{- \frac{4 x}{x + 2} + 2 + \frac{4 x^{2} + 5}{2 \left(x + 2\right)^{2}}}{x + 2} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (4*x^2 + 5)/(4*x + 8), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{2} + 5}{x \left(4 x + 8\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = - \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
$$\frac{4 x^{2} + 5}{4 x + 8} = - \frac{4 x^{2} + 5}{- 4 x + 8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График