Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+(4/x)-4
-
1/6*x^3-12*x
- log(((|x|)-3),2)
-
sqrt(x)^2-sqrt(12*x)+sqrt(55)
- Производная:
-
4*sin(4*x)
- Интеграл d{x}:
- 4*sin(4*x)
-
Идентичные выражения
- четыре *sin(четыре *x)
- 4 умножить на синус от (4 умножить на x)
- четыре умножить на синус от (четыре умножить на x)
- 4sin(4x)
- 4sin4x
График функции y = 4*sin(4*x)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = 10.2101761241668$$
$$x_{3} = 69.9004365423729$$
$$x_{4} = 6.28318530717959$$
$$x_{5} = 64.4026493985908$$
$$x_{6} = -47.9092879672443$$
$$x_{7} = -80.1106126665397$$
$$x_{8} = -19.6349540849362$$
$$x_{9} = -7.85398163397448$$
$$x_{10} = -109.170344712245$$
$$x_{11} = 83.2522053201295$$
$$x_{12} = -29.845130209103$$
$$x_{13} = -1.5707963267949$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{15} = 86.3937979737193$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{17} = 91.8915851175014$$
$$x_{18} = -63.6172512351933$$
$$x_{19} = 10.9955742875643$$
$$x_{20} = -21.9911485751286$$
$$x_{21} = 24.3473430653209$$
$$x_{22} = 36.1283155162826$$
$$x_{23} = 58.1194640914112$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = -76.1836218495525$$
$$x_{26} = 90.3207887907066$$
$$x_{27} = -40.0553063332699$$
$$x_{28} = -36.1283155162826$$
$$x_{29} = 54.9778714378214$$
$$x_{30} = 14.1371669411541$$
$$x_{31} = -64.4026493985908$$
$$x_{32} = 21.9911485751286$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = 25.9181393921158$$
$$x_{35} = 95.8185759344887$$
$$x_{36} = -41.6261026600648$$
$$x_{37} = 3.92699081698724$$
$$x_{38} = 94.2477796076938$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = -95.8185759344887$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -3.92699081698724$$
$$x_{45} = 29.845130209103$$
$$x_{46} = 50.2654824574367$$
$$x_{47} = 181.426975744811$$
$$x_{48} = -77.7544181763474$$
$$x_{49} = 65.9734457253857$$
$$x_{50} = -84.037603483527$$
$$x_{51} = -69.1150383789755$$
$$x_{52} = 73.8274273593601$$
$$x_{53} = 20.4203522483337$$
$$x_{54} = -43.9822971502571$$
$$x_{55} = -10.9955742875643$$
$$x_{56} = 72.2566310325652$$
$$x_{57} = 62.0464549083984$$
$$x_{58} = -65.9734457253857$$
$$x_{59} = -69.9004365423729$$
$$x_{60} = -14.1371669411541$$
$$x_{61} = 46.3384916404494$$
$$x_{62} = -54.1924732744239$$
$$x_{63} = -11.7809724509617$$
$$x_{64} = -51.8362787842316$$
$$x_{65} = -58.1194640914112$$
$$x_{66} = -37.6991118430775$$
$$x_{67} = -99.7455667514759$$
$$x_{68} = 47.9092879672443$$
$$x_{69} = -33.7721210260903$$
$$x_{70} = -91.8915851175014$$
$$x_{71} = 40.0553063332699$$
$$x_{72} = -25.9181393921158$$
$$x_{73} = 54.1924732744239$$
$$x_{74} = 68.329640215578$$
$$x_{75} = -23.5619449019235$$
$$x_{76} = -85.6083998103219$$
$$x_{77} = -88.7499924639117$$
$$x_{78} = -45.553093477052$$
$$x_{79} = 2.35619449019234$$
$$x_{80} = 76.1836218495525$$
$$x_{81} = 7.85398163397448$$
$$x_{82} = -81.6814089933346$$
$$x_{83} = 28.2743338823081$$
$$x_{84} = 98.174770424681$$
$$x_{85} = -62.0464549083984$$
$$x_{86} = -73.8274273593601$$
$$x_{87} = 43.9822971502571$$
$$x_{88} = 32.2013246992954$$
$$x_{89} = -32.2013246992954$$
$$x_{90} = 84.037603483527$$
$$x_{91} = 80.1106126665397$$
$$x_{92} = -87.9645943005142$$
$$x_{93} = -98.174770424681$$
$$x_{94} = 42.4115008234622$$
значит надо решить уравнение:
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Численное решение
$$x_{1} = 18.0641577581413$$
$$x_{2} = 10.2101761241668$$
$$x_{3} = 69.9004365423729$$
$$x_{4} = 6.28318530717959$$
$$x_{5} = 64.4026493985908$$
$$x_{6} = -47.9092879672443$$
$$x_{7} = -80.1106126665397$$
$$x_{8} = -19.6349540849362$$
$$x_{9} = -7.85398163397448$$
$$x_{10} = -109.170344712245$$
$$x_{11} = 83.2522053201295$$
$$x_{12} = -29.845130209103$$
$$x_{13} = -1.5707963267949$$
$$x_{14} = -18.0641577581413$$
$$x_{15} = 86.3937979737193$$
$$x_{16} = -55.7632696012188$$
$$x_{17} = 91.8915851175014$$
$$x_{18} = -63.6172512351933$$
$$x_{19} = 10.9955742875643$$
$$x_{20} = -21.9911485751286$$
$$x_{21} = 24.3473430653209$$
$$x_{22} = 36.1283155162826$$
$$x_{23} = 58.1194640914112$$
$$x_{24} = -15.707963267949$$
$$x_{25} = -76.1836218495525$$
$$x_{26} = 90.3207887907066$$
$$x_{27} = -40.0553063332699$$
$$x_{28} = -36.1283155162826$$
$$x_{29} = 54.9778714378214$$
$$x_{30} = 14.1371669411541$$
$$x_{31} = -64.4026493985908$$
$$x_{32} = 21.9911485751286$$
$$x_{33} = -59.6902604182061$$
$$x_{34} = 25.9181393921158$$
$$x_{35} = 95.8185759344887$$
$$x_{36} = -41.6261026600648$$
$$x_{37} = 3.92699081698724$$
$$x_{38} = 94.2477796076938$$
$$x_{39} = 51.8362787842316$$
$$x_{40} = 17.2787595947439$$
$$x_{41} = -95.8185759344887$$
$$x_{42} = 87.9645943005142$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -3.92699081698724$$
$$x_{45} = 29.845130209103$$
$$x_{46} = 50.2654824574367$$
$$x_{47} = 181.426975744811$$
$$x_{48} = -77.7544181763474$$
$$x_{49} = 65.9734457253857$$
$$x_{50} = -84.037603483527$$
$$x_{51} = -69.1150383789755$$
$$x_{52} = 73.8274273593601$$
$$x_{53} = 20.4203522483337$$
$$x_{54} = -43.9822971502571$$
$$x_{55} = -10.9955742875643$$
$$x_{56} = 72.2566310325652$$
$$x_{57} = 62.0464549083984$$
$$x_{58} = -65.9734457253857$$
$$x_{59} = -69.9004365423729$$
$$x_{60} = -14.1371669411541$$
$$x_{61} = 46.3384916404494$$
$$x_{62} = -54.1924732744239$$
$$x_{63} = -11.7809724509617$$
$$x_{64} = -51.8362787842316$$
$$x_{65} = -58.1194640914112$$
$$x_{66} = -37.6991118430775$$
$$x_{67} = -99.7455667514759$$
$$x_{68} = 47.9092879672443$$
$$x_{69} = -33.7721210260903$$
$$x_{70} = -91.8915851175014$$
$$x_{71} = 40.0553063332699$$
$$x_{72} = -25.9181393921158$$
$$x_{73} = 54.1924732744239$$
$$x_{74} = 68.329640215578$$
$$x_{75} = -23.5619449019235$$
$$x_{76} = -85.6083998103219$$
$$x_{77} = -88.7499924639117$$
$$x_{78} = -45.553093477052$$
$$x_{79} = 2.35619449019234$$
$$x_{80} = 76.1836218495525$$
$$x_{81} = 7.85398163397448$$
$$x_{82} = -81.6814089933346$$
$$x_{83} = 28.2743338823081$$
$$x_{84} = 98.174770424681$$
$$x_{85} = -62.0464549083984$$
$$x_{86} = -73.8274273593601$$
$$x_{87} = 43.9822971502571$$
$$x_{88} = 32.2013246992954$$
$$x_{89} = -32.2013246992954$$
$$x_{90} = 84.037603483527$$
$$x_{91} = 80.1106126665397$$
$$x_{92} = -87.9645943005142$$
$$x_{93} = -98.174770424681$$
$$x_{94} = 42.4115008234622$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$16 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$16 \cos{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{8}$$
Зн. экстремумы в точках:
pi (--, 4) 8
3*pi (----, -4) 8
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \pi}{8}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{8}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 64 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- 64 \sin{\left(4 x \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \sin{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \sin{\left(4 x \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*sin(4*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \sin{\left(4 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = - 4 \sin{\left(4 x \right)}$$
- Нет
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = 4 \sin{\left(4 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = - 4 \sin{\left(4 x \right)}$$
- Нет
$$4 \sin{\left(4 x \right)} = 4 \sin{\left(4 x \right)}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График