Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
3*cos(x)-4
- 3-2*cos(x)
- (|2^x-4|)
-
cos(2*x+(pi/2))
-
Идентичные выражения
- четыре *cos(x/ три +pi/ три)
- 4 умножить на косинус от (x делить на 3 плюс число пи делить на 3)
- четыре умножить на косинус от (x делить на три плюс число пи делить на три)
- 4cos(x/3+pi/3)
- 4cosx/3+pi/3
- 4*cos(x разделить на 3+pi разделить на 3)
-
Похожие выражения
- 4*cos(x/3-pi/3)
График функции y = 4*cos(x/3+pi/3)
Решение
Вы ввели
[src]
/x pi\
f(x) = 4*cos|- + --|
\3 3 /
$$f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}$$
f = 4*cos(x/3 + pi/3)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = -54.9778714378214$$
$$x_{3} = 105.243353895258$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = 1.5707963267949$$
$$x_{6} = -45.553093477052$$
$$x_{7} = 331.438024953723$$
$$x_{8} = -36.1283155162826$$
$$x_{9} = 15411.0827621847$$
$$x_{10} = -7.85398163397448$$
$$x_{11} = 171.216799620644$$
$$x_{12} = 774.402589109884$$
$$x_{13} = 67.5442420521806$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = -64.4026493985908$$
$$x_{16} = 39.2699081698724$$
$$x_{17} = 20.4203522483337$$
$$x_{18} = 58.1194640914112$$
$$x_{19} = 95.8185759344887$$
$$x_{20} = -26.7035375555132$$
$$x_{21} = 29.845130209103$$
$$x_{22} = -83.2522053201295$$
$$x_{23} = 86.3937979737193$$
$$x_{24} = -17.2787595947439$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = -102.101761241668$$
$$x_{27} = -92.6769832808989$$
значит надо решить уравнение:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 48.6946861306418$$
$$x_{2} = -54.9778714378214$$
$$x_{3} = 105.243353895258$$
$$x_{4} = 10.9955742875643$$
$$x_{5} = 1.5707963267949$$
$$x_{6} = -45.553093477052$$
$$x_{7} = 331.438024953723$$
$$x_{8} = -36.1283155162826$$
$$x_{9} = 15411.0827621847$$
$$x_{10} = -7.85398163397448$$
$$x_{11} = 171.216799620644$$
$$x_{12} = 774.402589109884$$
$$x_{13} = 67.5442420521806$$
$$x_{14} = 76.9690200129499$$
$$x_{15} = -64.4026493985908$$
$$x_{16} = 39.2699081698724$$
$$x_{17} = 20.4203522483337$$
$$x_{18} = 58.1194640914112$$
$$x_{19} = 95.8185759344887$$
$$x_{20} = -26.7035375555132$$
$$x_{21} = 29.845130209103$$
$$x_{22} = -83.2522053201295$$
$$x_{23} = 86.3937979737193$$
$$x_{24} = -17.2787595947439$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = -102.101761241668$$
$$x_{27} = -92.6769832808989$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \pi, 2 \pi\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi$$
Зн. экстремумы в точках:
/ pi pi\
(-pi, 4*cos|- -- + --|)
\ 3 3 / (2*pi, -4)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \pi$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \pi$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[2 \pi, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \pi, 2 \pi\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 \cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \frac{4 \cos{\left(\frac{x + \pi}{3} \right)}}{9} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{7 \pi}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{2}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -4, 4\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4*cos(x/3 + pi/3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = 4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = - 4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = 4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
$$4 \cos{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \right)} = - 4 \sin{\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{6} \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График