График функции y = 4-atan(x^2)

Вы ввели [src]

               / 2\
f(x) = 4 - atan\x /

$$f{\left(x \right)} = - \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4$$

f = 4 - atan(x^2)

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4 - atan(x^2).
$$- \operatorname{atan}{\left(0^{2} \right)} + 4$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 4$$
Точка:

(0, 4)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 4)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{4}}{x^{4} + 1} - 1\right)}{x^{4} + 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}, \frac{3^{\frac{3}{4}}}{3}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4\right) = - \frac{\pi}{2} + 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = - \frac{\pi}{2} + 4$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4\right) = - \frac{\pi}{2} + 4$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = - \frac{\pi}{2} + 4$$

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4 - atan(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4 = - \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4$$
- Да
$$- \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} + 4 = \operatorname{atan}{\left(x^{2} \right)} - 4$$
- Нет
значит, функция
является
чётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = 4-atan(x^2)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение