Господин Экзамен

Другие калькуляторы

4/(x^2+16)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • x/(sqrt(1+x^2)) x/(sqrt(1+x^2))
  • log((2*x-1)/(x+1))
  • 4/(x^2+16) 4/(x^2+16)
  • 3*x 3*x

  • Идентичные выражения

  • четыре /(x^ два + шестнадцать)
  • 4 делить на (x в квадрате плюс 16)
  • четыре делить на (x в степени два плюс шестнадцать)
  • 4/(x2+16)
  • 4/x2+16
  • 4/(x²+16)
  • 4/(x в степени 2+16)
  • 4/x^2+16
  • 4 разделить на (x^2+16)

  • Похожие выражения

  • 4/(x^2-16)
Построение графика функции/ 4/(x^2+16)

График функции y = 4/(x^2+16)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          4   
f(x) = -------
        2     
       x  + 16
$$f{\left(x \right)} = \frac{4}{x^{2} + 16}$$ 
f = 4/(x^2 + 16)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{4}{x^{2} + 16} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 4/(x^2 + 16).
$$\frac{4}{0^{2} + 16}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{4}$$
Точка:
(0, 1/4)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{8 x}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 1/4)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{8 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 16} - 1\right)}{\left(x^{2} + 16\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{4 \sqrt{3}}{3}, \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x^{2} + 16}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 4/(x^2 + 16), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4}{x \left(x^{2} + 16\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{4}{x^{2} + 16} = \frac{4}{x^{2} + 16}$$
- Да
$$\frac{4}{x^{2} + 16} = - \frac{4}{x^{2} + 16}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = 4/(x^2+16)
    © Господин Экзамен – Калькулятор