Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
- (6-4*x)*cos(x)+4*sin(x)+14
-
cos(2*x+45)
-
x^3-x^2
-
Идентичные выражения
- atan(один /(x^ два - один))
- арктангенс от (1 делить на (x в квадрате минус 1))
- арктангенс от (один делить на (x в степени два минус один))
- atan(1/(x2-1))
- atan1/x2-1
- atan(1/(x²-1))
- atan(1/(x в степени 2-1))
- atan1/x^2-1
- atan(1 разделить на (x^2-1))
-
Похожие выражения
- atan(1/(x^2+1))
- arctan(1/(x^2-1))
График функции y = atan(1/(x^2-1))
Решение
Вы ввели
[src]
/ 1 \
f(x) = atan|1*------|
| 2 |
\ x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}$$
f = atan(1/(x^2 - 1*1))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi
(0, ----)
4 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
$$x_{2} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1 - \frac{4 x^{2}}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{3}}\right)}{\left(1 + \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) \left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -2$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}, \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции atan(1/(x^2 - 1*1)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Да
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Да
$$\operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(1 \cdot \frac{1}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График