Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x/(9+x^2)
-
sqrt(1-y^2)
-
(x+2)^(1/2)
-
4/sqrt(25-x^2)
-
Идентичные выражения
- Abs(|x+ один |-|x+ три |)
- Abs( модуль от x плюс 1| минус |x плюс 3|)
- Abs( модуль от x плюс один | минус |x плюс три |)
- Abs|x+1|-|x+3|
-
Похожие выражения
- Abs(|x-1|-|x+3|)
- Abs(|x+1|-|x-3|)
- Abs(|x+1|+|x+3|)
График функции y = Abs(|x+1|-|x+3|)
Решение
Вы ввели
[src]
f(x) = ||x + 1| - |x + 3||
$$f{\left(x \right)} = \left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right|$$
f = Abs(|x + 1| - |x + 3|)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} - \operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 42$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 18$$
$$x_{4} = -28$$
$$x_{5} = 64$$
$$x_{6} = 52$$
$$x_{7} = -90$$
$$x_{8} = -4$$
$$x_{9} = -18$$
$$x_{10} = 4$$
$$x_{11} = 60$$
$$x_{12} = 12$$
$$x_{13} = 82$$
$$x_{14} = 68$$
$$x_{15} = 88$$
$$x_{16} = -34$$
$$x_{17} = 8$$
$$x_{18} = 36$$
$$x_{19} = -12$$
$$x_{20} = 24$$
$$x_{21} = 10$$
$$x_{22} = -78$$
$$x_{23} = 20$$
$$x_{24} = 62$$
$$x_{25} = -72$$
$$x_{26} = 56$$
$$x_{27} = 50$$
$$x_{28} = -14$$
$$x_{29} = 74$$
$$x_{30} = -48$$
$$x_{31} = -20$$
$$x_{32} = 58$$
$$x_{33} = -66$$
$$x_{34} = 14$$
$$x_{35} = -56$$
$$x_{36} = 78$$
$$x_{37} = 96$$
$$x_{38} = 2$$
$$x_{39} = 38$$
$$x_{40} = -16$$
$$x_{41} = 76$$
$$x_{42} = -32$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -58$$
$$x_{45} = -10$$
$$x_{46} = -26$$
$$x_{47} = 86$$
$$x_{48} = 80$$
$$x_{49} = 28$$
$$x_{50} = -94$$
$$x_{51} = 22$$
$$x_{52} = 100$$
$$x_{53} = -38$$
$$x_{54} = 44$$
$$x_{55} = -40$$
$$x_{56} = 26$$
$$x_{57} = 54$$
$$x_{58} = -52$$
$$x_{59} = 34$$
$$x_{60} = 46$$
$$x_{61} = -36$$
$$x_{62} = 48$$
$$x_{63} = -68$$
$$x_{64} = -6$$
$$x_{65} = -98$$
$$x_{66} = -96$$
$$x_{67} = -24$$
$$x_{68} = -100$$
$$x_{69} = 98$$
$$x_{70} = -82$$
$$x_{71} = -70$$
$$x_{72} = -44$$
$$x_{73} = -88$$
$$x_{74} = -92$$
$$x_{75} = 40$$
$$x_{76} = 66$$
$$x_{77} = 32$$
$$x_{78} = -30$$
$$x_{79} = 30$$
$$x_{80} = -86$$
$$x_{81} = 72$$
$$x_{82} = -46$$
$$x_{83} = -76$$
$$x_{84} = 16$$
$$x_{85} = 92$$
$$x_{86} = -62$$
$$x_{87} = -42$$
$$x_{88} = -54$$
$$x_{89} = 70$$
$$x_{90} = -74$$
$$x_{91} = -80$$
$$x_{92} = -60$$
$$x_{93} = -50$$
$$x_{94} = 84$$
$$x_{95} = -84$$
$$x_{96} = -2$$
$$x_{97} = 90$$
$$x_{98} = -64$$
$$x_{99} = -22$$
$$x_{100} = 94$$
$$x_{101} = -8$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\left(\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} - \operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)}\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right| \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 42$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 18$$
$$x_{4} = -28$$
$$x_{5} = 64$$
$$x_{6} = 52$$
$$x_{7} = -90$$
$$x_{8} = -4$$
$$x_{9} = -18$$
$$x_{10} = 4$$
$$x_{11} = 60$$
$$x_{12} = 12$$
$$x_{13} = 82$$
$$x_{14} = 68$$
$$x_{15} = 88$$
$$x_{16} = -34$$
$$x_{17} = 8$$
$$x_{18} = 36$$
$$x_{19} = -12$$
$$x_{20} = 24$$
$$x_{21} = 10$$
$$x_{22} = -78$$
$$x_{23} = 20$$
$$x_{24} = 62$$
$$x_{25} = -72$$
$$x_{26} = 56$$
$$x_{27} = 50$$
$$x_{28} = -14$$
$$x_{29} = 74$$
$$x_{30} = -48$$
$$x_{31} = -20$$
$$x_{32} = 58$$
$$x_{33} = -66$$
$$x_{34} = 14$$
$$x_{35} = -56$$
$$x_{36} = 78$$
$$x_{37} = 96$$
$$x_{38} = 2$$
$$x_{39} = 38$$
$$x_{40} = -16$$
$$x_{41} = 76$$
$$x_{42} = -32$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = -58$$
$$x_{45} = -10$$
$$x_{46} = -26$$
$$x_{47} = 86$$
$$x_{48} = 80$$
$$x_{49} = 28$$
$$x_{50} = -94$$
$$x_{51} = 22$$
$$x_{52} = 100$$
$$x_{53} = -38$$
$$x_{54} = 44$$
$$x_{55} = -40$$
$$x_{56} = 26$$
$$x_{57} = 54$$
$$x_{58} = -52$$
$$x_{59} = 34$$
$$x_{60} = 46$$
$$x_{61} = -36$$
$$x_{62} = 48$$
$$x_{63} = -68$$
$$x_{64} = -6$$
$$x_{65} = -98$$
$$x_{66} = -96$$
$$x_{67} = -24$$
$$x_{68} = -100$$
$$x_{69} = 98$$
$$x_{70} = -82$$
$$x_{71} = -70$$
$$x_{72} = -44$$
$$x_{73} = -88$$
$$x_{74} = -92$$
$$x_{75} = 40$$
$$x_{76} = 66$$
$$x_{77} = 32$$
$$x_{78} = -30$$
$$x_{79} = 30$$
$$x_{80} = -86$$
$$x_{81} = 72$$
$$x_{82} = -46$$
$$x_{83} = -76$$
$$x_{84} = 16$$
$$x_{85} = 92$$
$$x_{86} = -62$$
$$x_{87} = -42$$
$$x_{88} = -54$$
$$x_{89} = 70$$
$$x_{90} = -74$$
$$x_{91} = -80$$
$$x_{92} = -60$$
$$x_{93} = -50$$
$$x_{94} = 84$$
$$x_{95} = -84$$
$$x_{96} = -2$$
$$x_{97} = 90$$
$$x_{98} = -64$$
$$x_{99} = -22$$
$$x_{100} = 94$$
$$x_{101} = -8$$
Зн. экстремумы в точках:
(42, 2)
(6, 2)
(18, 2)
(-28, 2)
(64, 2)
(52, 2)
(-90, 2)
(-4, 2)
(-18, 2)
(4, 2)
(60, 2)
(12, 2)
(82, 2)
(68, 2)
(88, 2)
(-34, 2)
(8, 2)
(36, 2)
(-12, 2)
(24, 2)
(10, 2)
(-78, 2)
(20, 2)
(62, 2)
(-72, 2)
(56, 2)
(50, 2)
(-14, 2)
(74, 2)
(-48, 2)
(-20, 2)
(58, 2)
(-66, 2)
(14, 2)
(-56, 2)
(78, 2)
(96, 2)
(2, 2)
(38, 2)
(-16, 2)
(76, 2)
(-32, 2)
(0, 2)
(-58, 2)
(-10, 2)
(-26, 2)
(86, 2)
(80, 2)
(28, 2)
(-94, 2)
(22, 2)
(100, 2)
(-38, 2)
(44, 2)
(-40, 2)
(26, 2)
(54, 2)
(-52, 2)
(34, 2)
(46, 2)
(-36, 2)
(48, 2)
(-68, 2)
(-6, 2)
(-98, 2)
(-96, 2)
(-24, 2)
(-100, 2)
(98, 2)
(-82, 2)
(-70, 2)
(-44, 2)
(-88, 2)
(-92, 2)
(40, 2)
(66, 2)
(32, 2)
(-30, 2)
(30, 2)
(-86, 2)
(72, 2)
(-46, 2)
(-76, 2)
(16, 2)
(92, 2)
(-62, 2)
(-42, 2)
(-54, 2)
(70, 2)
(-74, 2)
(-80, 2)
(-60, 2)
(-50, 2)
(84, 2)
(-84, 2)
(-2, 0)
(90, 2)
(-64, 2)
(-22, 2)
(94, 2)
(-8, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[-2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\left(\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} - \operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)}\right)^{2} \delta\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|\right) + \left(\delta\left(x + 1\right) - \delta\left(x + 3\right)\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right| \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(\left(\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)} - \operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)}\right)^{2} \delta\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|\right) + \left(\delta\left(x + 1\right) - \delta\left(x + 3\right)\right) \operatorname{sign}{\left(\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right| \right)}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to -\infty} \left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty} \left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = 2$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 2$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции Abs(|x + 1| - |x + 3|), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right|}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = \left|{\left|{x - 3}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right|$$
- Нет
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = - \left|{\left|{x - 3}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = \left|{\left|{x - 3}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right|$$
- Нет
$$\left|{\left|{x + 1}\right| - \left|{x + 3}\right|}\right| = - \left|{\left|{x - 3}\right| - \left|{x - 1}\right|}\right|$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График