Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение х²-4х-32=0
-
Уравнение х×38-5840=14946
- Уравнение 15-16x+4x2=0
-
Уравнение a+970=69*32
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 3*x+5*y=-10
- 3*x+3*y=-6
- 20*x-11*y=-3
- -3*x+2*y=11
-
Идентичные выражения
- (z^ три)-8i= ноль
- (z в кубе ) минус 8i равно 0
- (z в степени три) минус 8i равно ноль
- (z3)-8i=0
- z3-8i=0
- (z³)-8i=0
- (z в степени 3)-8i=0
- z^3-8i=0
- (z^3)-8i=O
-
Похожие выражения
- (z^3)+8i=0
- z^3-8*i=0
(z^3)-8i=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{3} - 8 i = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: z = 2*i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
$$z^{3} - 8 i = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 z + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{8 i}$$
или
$$z = 2 \sqrt[3]{i}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
z = 2*i^1/3
Получим ответ: z = 2*i^(1/3)
Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{3} = 8 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 8 i$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - 2 i$$
$$w_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$w_{3} = \sqrt{3} + i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - 2 i$$
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \left(-1\right) 8 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \left(-1\right) 8 i$$
$$p z^{2} + z^{3} + q z + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = \left(-1\right) 8 i$$
Формулы Виета
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = - p$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = q$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = v$$
$$z_{1} + z_{2} + z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} + z_{1} z_{3} + z_{2} z_{3} = 0$$
$$z_{1} z_{2} z_{3} = \left(-1\right) 8 i$$
График
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ -2*I + I - \/ 3 + I + \/ 3
$$\left(- 2 i\right) + \left(- \sqrt{3} + i\right) + \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ -2*I * I - \/ 3 * I + \/ 3
$$\left(- 2 i\right) * \left(- \sqrt{3} + i\right) * \left(\sqrt{3} + i\right)$$
=
8*I
$$8 i$$
Быстрый ответ
[src]
z_1 = -2*I
$$z_{1} = - 2 i$$
___ z_2 = I - \/ 3
$$z_{2} = - \sqrt{3} + i$$
___ z_3 = I + \/ 3
$$z_{3} = \sqrt{3} + i$$
Численный ответ
[src]
z1 = 1.73205080756888 + 1.0*i
z2 = -2.0*i
z3 = -1.73205080756888 + 1.0*i
z3 = -1.73205080756888 + 1.0*i