Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 2x-1-3x-4/2=x+1/3-(1-x+3/2)
- Уравнение х^3+6х^2-х-6=0
-
Уравнение 45287*x=361751+45832
- Уравнение z^4=i
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -2*x+9*y=13
- 4*x+3*y=-5
- 4*x+16*y=12
- 9*x-14*y=3
-
Идентичные выражения
- z^ четыре =i
- z в степени 4 равно i
- z в степени четыре равно i
- z4=i
- z⁴=i
z^4=i уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$z^{4} = i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = i комплексное,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{4} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z^{4} = i$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = i комплексное,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда уравнение будет таким:
$$w^{4} = i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = i$$
где
$$r = 1$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = i$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = 0$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 1$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{8}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$w_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} - i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
$$z_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}} + i \sqrt{- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}}$$
График
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___
\/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2 \/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2 \/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2 \/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2
- -------------- + ---------------- + -------------- - ---------------- + - -------------- - ---------------- + -------------- + ----------------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________ ___________
/ ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___ / ___
\/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2 \/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2 \/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2 \/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2
- -------------- + ---------------- * -------------- - ---------------- * - -------------- - ---------------- * -------------- + ----------------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}\right)$$
=
-I
$$- i$$
Быстрый ответ
[src]
___________ ___________
/ ___ / ___
\/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2
z_1 = - -------------- + ----------------
2 2
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
\/ 2 - \/ 2 I*\/ 2 + \/ 2
z_2 = -------------- - ----------------
2 2
$$z_{2} = \frac{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
\/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2
z_3 = - -------------- - ----------------
2 2
$$z_{3} = - \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} - \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}$$
___________ ___________
/ ___ / ___
\/ 2 + \/ 2 I*\/ 2 - \/ 2
z_4 = -------------- + ----------------
2 2
$$z_{4} = \frac{\sqrt{\sqrt{2} + 2}}{2} + \frac{i \sqrt{- \sqrt{2} + 2}}{2}$$
Численный ответ
[src]
z1 = -0.923879532511287 - 0.38268343236509*i
z2 = 0.923879532511287 + 0.38268343236509*i
z3 = -0.38268343236509 + 0.923879532511287*i
z4 = 0.38268343236509 - 0.923879532511287*i
z4 = 0.38268343236509 - 0.923879532511287*i