x^8=256 уравнение

Дано уравнение
$$x^{8} = 256$$
Т.к. степень в уравнении равна = 8 - содержит чётное число 8 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 8-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = 2$$
$$\sqrt[8]{\left(1 x + 0\right)^{8}} = -2$$
или
$$x = 2$$
$$x = -2$$
Получим ответ: x = 2
Получим ответ: x = -2
или
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{8} = 256$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{8} e^{8 i p} = 256$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{8 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(8 p \right)} + \cos{\left(8 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(8 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(8 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -2$$
$$z_{2} = 2$$
$$z_{3} = - 2 i$$
$$z_{4} = 2 i$$
$$z_{5} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{6} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$z_{7} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$z_{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = - 2 i$$
$$x_{4} = 2 i$$
$$x_{5} = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{6} = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$
$$x_{7} = \sqrt{2} - \sqrt{2} i$$
$$x_{8} = \sqrt{2} + \sqrt{2} i$$