Господин Экзамен

Другие калькуляторы


X^3=15

X^3=15 уравнение

С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊

v

Численное решение:

Искать численное решение на промежутке [, ]

Решение

Вы ввели [src]
 3     
x  = 15
$$x^{3} = 15$$
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} = 15$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{15}$$
или
$$x = \sqrt[3]{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 15^1/3

Получим ответ: x = 15^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 15$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 15$$
где
$$r = \sqrt[3]{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -15$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -15$$
График
Быстрый ответ [src]
      3 ____
x_1 = \/ 15 
$$x_{1} = \sqrt[3]{15}$$
        3 ____      5/6 3 ___
        \/ 15    I*3   *\/ 5 
x_2 = - ------ - ------------
          2           2      
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
        3 ____      5/6 3 ___
        \/ 15    I*3   *\/ 5 
x_3 = - ------ + ------------
          2           2      
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Сумма и произведение корней [src]
сумма
           3 ____      5/6 3 ___     3 ____      5/6 3 ___
3 ____     \/ 15    I*3   *\/ 5      \/ 15    I*3   *\/ 5 
\/ 15  + - ------ - ------------ + - ------ + ------------
             2           2             2           2      
$$\left(\sqrt[3]{15}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
           3 ____      5/6 3 ___     3 ____      5/6 3 ___
3 ____     \/ 15    I*3   *\/ 5      \/ 15    I*3   *\/ 5 
\/ 15  * - ------ - ------------ * - ------ + ------------
             2           2             2           2      
$$\left(\sqrt[3]{15}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
15
$$15$$
Численный ответ [src]
x1 = -1.23310603716524 - 2.1358023074901*i
x2 = -1.23310603716524 + 2.1358023074901*i
x3 = 2.46621207433047
x3 = 2.46621207433047
График
X^3=15 уравнение