Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение X^3=15
-
Уравнение 81x^3+36x^2+4x=0
-
Уравнение 2*x*cos(x)-8*cos(x)+x-4=0
-
Уравнение (3x-5)^2+(4x-1)(4x+1)=29
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- 3*x-9*y=18
- -3*x-2*y=12
- График функции y =:
- 15
- Разложение числа на простые множители:
- 15
- Предел функции:
- 15
-
Идентичные выражения
- X^ три = пятнадцать
- X в кубе равно 15
- X в степени три равно пятнадцать
- X3=15
- X³=15
- X в степени 3=15
X^3=15 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} = 15$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{15}$$
или
$$x = \sqrt[3]{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 15^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 15$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 15$$
где
$$r = \sqrt[3]{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x^{3} = 15$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{15}$$
или
$$x = \sqrt[3]{15}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 15^1/3
Получим ответ: x = 15^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 15$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 15$$
где
$$r = \sqrt[3]{15}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{15}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -15$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -15$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -15$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -15$$
Быстрый ответ
[src]
3 ____ x_1 = \/ 15
$$x_{1} = \sqrt[3]{15}$$
3 ____ 5/6 3 ___
\/ 15 I*3 *\/ 5
x_2 = - ------ - ------------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
3 ____ 5/6 3 ___
\/ 15 I*3 *\/ 5
x_3 = - ------ + ------------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ____ 5/6 3 ___ 3 ____ 5/6 3 ___
3 ____ \/ 15 I*3 *\/ 5 \/ 15 I*3 *\/ 5
\/ 15 + - ------ - ------------ + - ------ + ------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{15}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ____ 5/6 3 ___ 3 ____ 5/6 3 ___
3 ____ \/ 15 I*3 *\/ 5 \/ 15 I*3 *\/ 5
\/ 15 * - ------ - ------------ * - ------ + ------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{15}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{15}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{5} i}{2}\right)$$
=
15
$$15$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.23310603716524 - 2.1358023074901*i
x2 = -1.23310603716524 + 2.1358023074901*i
x3 = 2.46621207433047
x3 = 2.46621207433047
График