Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 7*x^2-6*x+2=0
-
Уравнение 89/10-х=45/6
-
Уравнение 5*x-10=0
-
Уравнение x^3=21
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
- 2*x+9*y=13
- -4*x-2*y=-8
- Интеграл d{x}:
-
x^3
-
21
- График функции y =:
-
x^3
- Производная:
-
x^3
- Разложение числа на простые множители:
- 21
-
Идентичные выражения
- x^ три = двадцать один
- x в кубе равно 21
- x в степени три равно двадцать один
- x3=21
- x³=21
- x в степени 3=21
x^3=21 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} = 21$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{21}$$
или
$$x = \sqrt[3]{21}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 21^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 21$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 21$$
где
$$r = \sqrt[3]{21}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x^{3} = 21$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{21}$$
или
$$x = \sqrt[3]{21}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 21^1/3
Получим ответ: x = 21^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 21$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 21$$
где
$$r = \sqrt[3]{21}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{21}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -21$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -21$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -21$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -21$$
Быстрый ответ
[src]
3 ____ x_1 = \/ 21
$$x_{1} = \sqrt[3]{21}$$
3 ____ 5/6 3 ___
\/ 21 I*3 *\/ 7
x_2 = - ------ - ------------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
3 ____ 5/6 3 ___
\/ 21 I*3 *\/ 7
x_3 = - ------ + ------------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ____ 5/6 3 ___ 3 ____ 5/6 3 ___
3 ____ \/ 21 I*3 *\/ 7 \/ 21 I*3 *\/ 7
\/ 21 + - ------ - ------------ + - ------ + ------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{21}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ____ 5/6 3 ___ 3 ____ 5/6 3 ___
3 ____ \/ 21 I*3 *\/ 7 \/ 21 I*3 *\/ 7
\/ 21 * - ------ - ------------ * - ------ + ------------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{21}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} - \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{21}}{2} + \frac{3^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$
=
21
$$21$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.37946208819056 + 2.38929842386111*i
x2 = 2.75892417638112
x3 = -1.37946208819056 - 2.38929842386111*i
x3 = -1.37946208819056 - 2.38929842386111*i
График