Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 10х-8=0
- Уравнение 10/2х-3=х-1
-
Уравнение x^3+7=0
-
Уравнение (x+1)*(x-1)*(x-2)-((x^2)+7*x)*(x-4)-2=2*x
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 4*x-2*y=6
- 11*x-7*y=-5
- 6*x+3*y=-15
- 2*x+8*y=15
- Производная:
-
x^3+7
-
Идентичные выражения
- x^ три + семь = ноль
- x в кубе плюс 7 равно 0
- x в степени три плюс семь равно ноль
- x3+7=0
- x³+7=0
- x в степени 3+7=0
- x^3+7=O
-
Похожие выражения
- x^3-7=0
x^3+7=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} + 7 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-7}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-7}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = (-7)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -7$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -7$$
где
$$r = \sqrt[3]{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x^{3} + 7 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{-7}$$
или
$$x = \sqrt[3]{-7}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -7^1/3
Получим ответ: x = (-7)^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = -7$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -7$$
где
$$r = \sqrt[3]{7}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3} + \frac{\pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$z_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 7$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 7$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = 7$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = 7$$
Быстрый ответ
[src]
3 ___ x_1 = -\/ 7
$$x_{1} = - \sqrt[3]{7}$$
3 ___ ___ 3 ___
\/ 7 I*\/ 3 *\/ 7
x_2 = ----- - -------------
2 2
$$x_{2} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
3 ___ ___ 3 ___
\/ 7 I*\/ 3 *\/ 7
x_3 = ----- + -------------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ \/ 7 I*\/ 3 *\/ 7 \/ 7 I*\/ 3 *\/ 7
-\/ 7 + ----- - ------------- + ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{7}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ___ ___ 3 ___ 3 ___ ___ 3 ___
3 ___ \/ 7 I*\/ 3 *\/ 7 \/ 7 I*\/ 3 *\/ 7
-\/ 7 * ----- - ------------- * ----- + -------------
2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[3]{7}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[3]{7}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{7} i}{2}\right)$$
=
-7
$$-7$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.956465591386195 - 1.6566469999723*i
x2 = -1.91293118277239
x3 = 0.956465591386195 + 1.6566469999723*i
x3 = 0.956465591386195 + 1.6566469999723*i
График