Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение sinx=2cosx
- Уравнение cos3x=-1/2
- Уравнение x^3-81=0
-
Уравнение 7x=9
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
- 2*x+9*y=13
- -4*x-2*y=-8
-
Идентичные выражения
- x^ три - восемьдесят один = ноль
- x в кубе минус 81 равно 0
- x в степени три минус восемьдесят один равно ноль
- x3-81=0
- x³-81=0
- x в степени 3-81=0
- x^3-81=O
-
Похожие выражения
- x^3+81=0
x^3-81=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} - 81 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{81}$$
или
$$x = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 3*3^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 81$$
где
$$r = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x^{3} - 81 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{81}$$
или
$$x = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 3*3^1/3
Получим ответ: x = 3*3^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 81$$
где
$$r = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -81$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -81$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -81$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -81$$
Быстрый ответ
[src]
3 ___ x_1 = 3*\/ 3
$$x_{1} = 3 \cdot \sqrt[3]{3}$$
3 ___ 5/6
3*\/ 3 3*I*3
x_2 = - ------- - --------
2 2
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
3 ___ 5/6
3*\/ 3 3*I*3
x_3 = - ------- + --------
2 2
$$x_{3} = - \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ___ 5/6 3 ___ 5/6
3 ___ 3*\/ 3 3*I*3 3*\/ 3 3*I*3
3*\/ 3 + - ------- - -------- + - ------- + --------
2 2 2 2
$$\left(3 \cdot \sqrt[3]{3}\right) + \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) + \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ___ 5/6 3 ___ 5/6
3 ___ 3*\/ 3 3*I*3 3*\/ 3 3*I*3
3*\/ 3 * - ------- - -------- * - ------- + --------
2 2 2 2
$$\left(3 \cdot \sqrt[3]{3}\right) * \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) * \left(- \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{2} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$
=
81
$$81$$
Численный ответ
[src]
x1 = -2.16337435546111 - 3.74707429945022*i
x2 = 4.32674871092223
x3 = -2.16337435546111 + 3.74707429945022*i
x3 = -2.16337435546111 + 3.74707429945022*i