Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение 7х^3-28х=0
-
Уравнение x²-x-2=0
-
Уравнение sin(3*x-pi/3)=1
-
Уравнение x^3-12=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x-7*y=-11
- 5*x-7*y=14
- 3*x+2*y=-6
- -2*x+9*y=13
- График функции y =:
-
x^3-12
- Разложить многочлен на множители:
- x^3-12
-
Идентичные выражения
- x^ три - двенадцать = ноль
- x в кубе минус 12 равно 0
- x в степени три минус двенадцать равно ноль
- x3-12=0
- x³-12=0
- x в степени 3-12=0
- x^3-12=O
-
Похожие выражения
- x^3+12=0
x^3-12=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{3} - 12 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{12}$$
или
$$x = \sqrt[3]{12}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 12^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 12$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 12$$
где
$$r = \sqrt[3]{12}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x^{3} - 12 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 3 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[3]{\left(1 x + 0\right)^{3}} = \sqrt[3]{12}$$
или
$$x = \sqrt[3]{12}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 12^1/3
Получим ответ: x = 12^(1/3)
Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{3} = 12$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = 12$$
где
$$r = \sqrt[3]{12}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(3 p \right)} + \cos{\left(3 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(3 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(3 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = \sqrt[3]{12}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
Теорема Виета
это приведённое кубическое уравнение
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -12$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -12$$
$$p x^{2} + x^{3} + q x + v = 0$$
где
$$p = \frac{b}{a}$$
$$p = 0$$
$$q = \frac{c}{a}$$
$$q = 0$$
$$v = \frac{d}{a}$$
$$v = -12$$
Формулы Виета
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = - p$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = q$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = v$$
$$x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} = 0$$
$$x_{1} x_{2} x_{3} = -12$$
Быстрый ответ
[src]
3 ____ x_1 = \/ 12
$$x_{1} = \sqrt[3]{12}$$
3 ____ 2/3 5/6
\/ 12 I*2 *3
x_2 = - ------ - -----------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
3 ____ 2/3 5/6
\/ 12 I*2 *3
x_3 = - ------ + -----------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
3 ____ 2/3 5/6 3 ____ 2/3 5/6
3 ____ \/ 12 I*2 *3 \/ 12 I*2 *3
\/ 12 + - ------ - ----------- + - ------ + -----------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{12}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
3 ____ 2/3 5/6 3 ____ 2/3 5/6
3 ____ \/ 12 I*2 *3 \/ 12 I*2 *3
\/ 12 * - ------ - ----------- * - ------ + -----------
2 2 2 2
$$\left(\sqrt[3]{12}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[3]{12}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}} i}{2}\right)$$
=
12
$$12$$
Численный ответ
[src]
x1 = 2.28942848510666
x2 = -1.14471424255333 - 1.98270322825009*i
x3 = -1.14471424255333 + 1.98270322825009*i
x3 = -1.14471424255333 + 1.98270322825009*i
График