Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^2+x-11=0
-
Уравнение x^6=3
-
Уравнение 3x^2-2x+4=0
-
Уравнение 2^-4-x=16
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 8*x-4*y=12
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- График функции y =:
-
x^6
- Производная:
-
x^6
- Интеграл d{x}:
-
x^6
-
Идентичные выражения
- x^ шесть = три
- x в степени 6 равно 3
- x в степени шесть равно три
- x6=3
- x⁶=3
x^6=3 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} = 3$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{3}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{3}$$
или
$$x = \sqrt[6]{3}$$
$$x = - \sqrt[6]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = 3^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
Получим ответ: x = -3^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x^{6} = 3$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 - содержит чётное число 6 в числителе, то
уравнение будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = \sqrt[6]{3}$$
$$\sqrt[6]{\left(1 x + 0\right)^{6}} = - \sqrt[6]{3}$$
или
$$x = \sqrt[6]{3}$$
$$x = - \sqrt[6]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = 3^1/6
Получим ответ: x = 3^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части уравнения
x = -3^1/6
Получим ответ: x = -3^(1/6)
или
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = 3$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 3$$
где
$$r = \sqrt[6]{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$z_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$z_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
6 ___ 2/3 6 ___ 2/3 6 ___ 2/3 6 ___ 2/3
6 ___ 6 ___ \/ 3 I*3 \/ 3 I*3 \/ 3 I*3 \/ 3 I*3
-\/ 3 + \/ 3 + - ----- - ------ + - ----- + ------ + ----- - ------ + ----- + ------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{3}\right) + \left(\sqrt[6]{3}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
6 ___ 2/3 6 ___ 2/3 6 ___ 2/3 6 ___ 2/3
6 ___ 6 ___ \/ 3 I*3 \/ 3 I*3 \/ 3 I*3 \/ 3 I*3
-\/ 3 * \/ 3 * - ----- - ------ * - ----- + ------ * ----- - ------ * ----- + ------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \sqrt[6]{3}\right) * \left(\sqrt[6]{3}\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$
=
-3
$$-3$$
Быстрый ответ
[src]
6 ___ x_1 = -\/ 3
$$x_{1} = - \sqrt[6]{3}$$
6 ___ x_2 = \/ 3
$$x_{2} = \sqrt[6]{3}$$
6 ___ 2/3
\/ 3 I*3
x_3 = - ----- - ------
2 2
$$x_{3} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
6 ___ 2/3
\/ 3 I*3
x_4 = - ----- + ------
2 2
$$x_{4} = - \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
6 ___ 2/3
\/ 3 I*3
x_5 = ----- - ------
2 2
$$x_{5} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} - \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
6 ___ 2/3
\/ 3 I*3
x_6 = ----- + ------
2 2
$$x_{6} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} + \frac{3^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.600468477588001 - 1.04004191152595*i
x2 = -0.600468477588001 + 1.04004191152595*i
x3 = 1.200936955176
x4 = -0.600468477588001 - 1.04004191152595*i
x5 = -1.200936955176
x6 = 0.600468477588001 + 1.04004191152595*i
x6 = 0.600468477588001 + 1.04004191152595*i
График