Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение sqrt(x)=2-x
-
Уравнение x^2-2*x-15=0
-
Уравнение t^2-5*t+6=0
-
Уравнение x^6=-16
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 3*x-9*y=18
- -3*x-2*y=12
- -7*x+2*y=-9
- -4*x-2*y=-8
- График функции y =:
-
x^6
- Производная:
-
x^6
- Интеграл d{x}:
-
x^6
-
Идентичные выражения
- x^ шесть =- шестнадцать
- x в степени 6 равно минус 16
- x в степени шесть равно минус шестнадцать
- x6=-16
- x⁶=-16
-
Похожие выражения
- x^6=+16
x^6=-16 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{6} = -16$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -16$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x^{6} = -16$$
Т.к. степень в уравнении равна = 6 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{6} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = -16$$
где
$$r = 2^{\frac{2}{3}}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(6 p \right)} + \cos{\left(6 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(6 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(6 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{3} + \frac{\pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$z_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$z_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
2/3 x_1 = -I*2
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} i$$
2/3 x_2 = I*2
$$x_{2} = 2^{\frac{2}{3}} i$$
2/3 2/3 ___
I*2 2 *\/ 3
x_3 = - ------ - ----------
2 2
$$x_{3} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 2/3 ___
I*2 2 *\/ 3
x_4 = ------ - ----------
2 2
$$x_{4} = - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 ___ 2/3
2 *\/ 3 I*2
x_5 = ---------- - ------
2 2
$$x_{5} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
2/3 2/3 ___
I*2 2 *\/ 3
x_6 = ------ + ----------
2 2
$$x_{6} = \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___ 2/3 ___ 2/3 2/3 2/3 ___
2/3 2/3 I*2 2 *\/ 3 I*2 2 *\/ 3 2 *\/ 3 I*2 I*2 2 *\/ 3
-I*2 + I*2 + - ------ - ---------- + ------ - ---------- + ---------- - ------ + ------ + ----------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- 2^{\frac{2}{3}} i\right) + \left(2^{\frac{2}{3}} i\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) + \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
2/3 2/3 ___ 2/3 2/3 ___ 2/3 ___ 2/3 2/3 2/3 ___
2/3 2/3 I*2 2 *\/ 3 I*2 2 *\/ 3 2 *\/ 3 I*2 I*2 2 *\/ 3
-I*2 * I*2 * - ------ - ---------- * ------ - ---------- * ---------- - ------ * ------ + ----------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- 2^{\frac{2}{3}} i\right) * \left(2^{\frac{2}{3}} i\right) * \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} - \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right) * \left(\frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3}}{2} + \frac{2^{\frac{2}{3}} i}{2}\right)$$
=
16
$$16$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.3747296369986 + 0.7937005259841*i
x2 = -1.5874010519682*i
x3 = 1.3747296369986 - 0.7937005259841*i
x4 = 1.5874010519682*i
x5 = -1.3747296369986 + 0.7937005259841*i
x6 = -1.3747296369986 - 0.7937005259841*i
x6 = -1.3747296369986 - 0.7937005259841*i
График