Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
-
Уравнение x^7=128
-
Уравнение sqrt(3)-2sin(x)=0
-
Уравнение x-2/3=1/18
-
Уравнение 3*x^2-12=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x+3*y=0
- 4*x-4*y=12
- -4*x-3*y=-5
- 3*x-9*y=18
- График функции y =:
-
x^7
- Производная:
-
x^7
- Интеграл d{x}:
-
x^7
-
Идентичные выражения
- x^ семь = сто двадцать восемь
- x в степени 7 равно 128
- x в степени семь равно сто двадцать восемь
- x7=128
- x⁷=128
x^7=128 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{7} = 128$$
Т.к. степень в уравнении равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{128}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{7} = 128$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 128$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x^{7} = 128$$
Т.к. степень в уравнении равна = 7 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[7]{\left(1 x + 0\right)^{7}} = \sqrt[7]{128}$$
или
$$x = 2$$
Получим ответ: x = 2
Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{7} = 128$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 128$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(7 p \right)} + \cos{\left(7 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(7 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(7 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{7}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$z_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$z_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{6} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
$$x_{7} = - 2 \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 2
$$x_{1} = 2$$
/pi\ /pi\
x_2 = - 2*cos|--| - 2*I*sin|--|
\7 / \7 /
$$x_{2} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_3 = - 2*cos|--| + 2*I*sin|--|
\7 / \7 /
$$x_{3} = - 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_4 = 2*cos|----| - 2*I*sin|----|
\ 7 / \ 7 /
$$x_{4} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
/2*pi\ /2*pi\
x_5 = 2*cos|----| + 2*I*sin|----|
\ 7 / \ 7 /
$$x_{5} = 2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_6 = - 2*sin|--| - 2*I*cos|--|
\14/ \14/
$$x_{6} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}$$
/pi\ /pi\
x_7 = - 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\14/ \14/
$$x_{7} = - 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
/pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\
2 + - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| + - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| + 2*cos|----| - 2*I*sin|----| + 2*cos|----| + 2*I*sin|----| + - 2*sin|--| - 2*I*cos|--| + - 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\7 / \7 / \7 / \7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \14/ \14/ \14/ \14/
$$\left(2\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) + \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) + \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) + \left(- 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}\right) + \left(- 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}\right)$$
=
/pi\ /pi\ /2*pi\
2 - 4*cos|--| - 4*sin|--| + 4*cos|----|
\7 / \14/ \ 7 /
$$- 4 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 4 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} + 2 + 4 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}$$
произведение
/pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /2*pi\ /pi\ /pi\ /pi\ /pi\
2 * - 2*cos|--| - 2*I*sin|--| * - 2*cos|--| + 2*I*sin|--| * 2*cos|----| - 2*I*sin|----| * 2*cos|----| + 2*I*sin|----| * - 2*sin|--| - 2*I*cos|--| * - 2*sin|--| + 2*I*cos|--|
\7 / \7 / \7 / \7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \ 7 / \14/ \14/ \14/ \14/
$$\left(2\right) * \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) * \left(- 2 \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) * \left(2 \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + 2 i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}\right) * \left(- 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} - 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}\right) * \left(- 2 \sin{\left(\frac{\pi}{14} \right)} + 2 i \cos{\left(\frac{\pi}{14} \right)}\right)$$
=
128
$$128$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.80193773580484 - 0.867767478235116*i
x2 = -1.80193773580484 + 0.867767478235116*i
x3 = -0.445041867912629 + 1.94985582436365*i
x4 = -0.445041867912629 - 1.94985582436365*i
x5 = 1.24697960371747 - 1.56366296493606*i
x6 = 1.24697960371747 + 1.56366296493606*i
x7 = 2.0
x7 = 2.0
График