x^2+9*x^2/(x-3)^2=16 уравнение

Дано уравнение:
$$x^{2} + \frac{9 x^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = 16$$
преобразуем:
Вынесем общий множитель за скобки
$$\frac{\left(x^{2} - 8 x + 24\right) \left(x^{2} + 2 x - 6\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
знаменатель
$$x - 3$$
тогда

x не равен 3

Т.к. правая часть уравнения равна нулю, то решение у уравнения будет, если хотя бы один из множителей в левой части уравнения равен нулю.
Получим уравнения
$$x^{2} - 8 x + 24 = 0$$
$$x^{2} + 2 x - 6 = 0$$
решаем получившиеся уравнения:
2.
$$x^{2} - 8 x + 24 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = 24$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 24 + \left(-8\right)^{2} = -32$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 4 + 2 \sqrt{2} i$$
Упростить
$$x_{2} = 4 - 2 \sqrt{2} i$$
Упростить
3.
$$x^{2} + 2 x - 6 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -6$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$2^{2} - 1 \cdot 4 \left(-6\right) = 28$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_3 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_4 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{3} = -1 + \sqrt{7}$$
Упростить
$$x_{4} = - \sqrt{7} - 1$$
Упростить
но

x не равен 3

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 4 + 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{2} = 4 - 2 \sqrt{2} i$$
$$x_{3} = -1 + \sqrt{7}$$
$$x_{4} = - \sqrt{7} - 1$$