Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 6*(x+12)=0
-
Уравнение sin(2*x)+1=0
- Уравнение 2x-12=5x+15
- Уравнение x^4+625=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- 5*x-7*y=14
- 3*x+2*y=-6
- -2*x+9*y=13
- 4*x+16*y=12
-
Идентичные выражения
- x^ четыре + шестьсот двадцать пять = ноль
- x в степени 4 плюс 625 равно 0
- x в степени четыре плюс шестьсот двадцать пять равно ноль
- x4+625=0
- x⁴+625=0
- x^4+625=O
-
Похожие выражения
- x^4-625=0
x^4+625=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 625 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -625 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -625$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -625$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x^{4} + 625 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -625 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -625$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -625$$
где
$$r = 5$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_1 = - ------- - ---------
2 2
$$x_{1} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_2 = - ------- + ---------
2 2
$$x_{2} = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_3 = ------- - ---------
2 2
$$x_{3} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2
x_4 = ------- + ---------
2 2
$$x_{4} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2
- ------- - --------- + - ------- + --------- + ------- - --------- + ------- + ---------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) + \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2 5*\/ 2 5*I*\/ 2
- ------- - --------- * - ------- + --------- * ------- - --------- * ------- + ---------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) * \left(- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right) * \left(\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2} i}{2}\right)$$
=
625
$$625$$
Численный ответ
[src]
x1 = 3.53553390593274 - 3.53553390593274*i
x2 = 3.53553390593274 + 3.53553390593274*i
x3 = -3.53553390593274 + 3.53553390593274*i
x4 = -3.53553390593274 - 3.53553390593274*i
x4 = -3.53553390593274 - 3.53553390593274*i