Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение (5/6x-1/4)*16=6
-
Уравнение (x-8)*2/5=2
- Уравнение 9х+3/1+3х=х-7
- Уравнение -4,5-х=9
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -3*x+2*y=11
- 7*x+2*y=-9
- -10*x-4*y=-5
- -7*x-2*y=9
-
Идентичные выражения
- x^ четыре + девять = ноль
- x в степени 4 плюс 9 равно 0
- x в степени четыре плюс девять равно ноль
- x4+9=0
- x⁴+9=0
- x^4+9=O
-
Похожие выражения
- x^4-9=0
x^4+9=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$x^{4} + 9 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -9 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -9$$
где
$$r = \sqrt{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x^{4} + 9 = 0$$
Т.к. степень в уравнении равна = 4 и свободный член = -9 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{4} = -9$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -9$$
где
$$r = \sqrt{3}$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(4 p \right)} + \cos{\left(4 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(4 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(4 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{\pi N}{2} + \frac{\pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$z_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
Быстрый ответ
[src]
___ ___
\/ 6 I*\/ 6
x_1 = - ----- - -------
2 2
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
___ ___
\/ 6 I*\/ 6
x_2 = - ----- + -------
2 2
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
___ ___
\/ 6 I*\/ 6
x_3 = ----- - -------
2 2
$$x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
___ ___
\/ 6 I*\/ 6
x_4 = ----- + -------
2 2
$$x_{4} = \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6
- ----- - ------- + - ----- + ------- + ----- - ------- + ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) + \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
\/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6 \/ 6 I*\/ 6
- ----- - ------- * - ----- + ------- * ----- - ------- * ----- + -------
2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) * \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{6} i}{2}\right) * \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{6} i}{2}\right)$$
=
9
$$9$$
Численный ответ
[src]
x1 = -1.22474487139159 - 1.22474487139159*i
x2 = 1.22474487139159 - 1.22474487139159*i
x3 = 1.22474487139159 + 1.22474487139159*i
x4 = -1.22474487139159 + 1.22474487139159*i
x4 = -1.22474487139159 + 1.22474487139159*i
График