Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение x2-x=12
- Уравнение sqrt(2*x)-1=x-2
- Уравнение -(4x-7)=-7x
- Уравнение 0,3(5x-7)=3(0,2x+3,2)
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -20*x+11*y=17
- -3*x-13*y=-5
- 9*x+11*y=5
- 3*x+6*y=9
- График функции y =:
-
x^4-2*x^2+5
- Производная:
-
x^4-2*x^2+5
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - два *x^ два + пять = ноль
- x в степени 4 минус 2 умножить на x в квадрате плюс 5 равно 0
- x в степени четыре минус два умножить на x в степени два плюс пять равно ноль
- x4-2*x2+5=0
- x⁴-2*x²+5=0
- x в степени 4-2*x в степени 2+5=0
- x^4-2x^2+5=0
- x4-2x2+5=0
- x^4-2*x^2+5=O
-
Похожие выражения
- x^4-2*x^2-5=0
- x^4+2*x^2+5=0
x^4-2*x^2+5=0 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение:
$$x^{4} - 2 x^{2} + 5 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 2 v + 5 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 5$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 5 + \left(-2\right)^{2} = -16$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 1 + 2 i$$
Упростить
$$v_{2} = 1 - 2 i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 + 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 + 2 i}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 + 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 + 2 i}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 - 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 - 2 i}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 - 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 - 2 i}$$
$$x^{4} - 2 x^{2} + 5 = 0$$
Сделаем замену
$$v = x^{2}$$
тогда уравнение будет таким:
$$v^{2} - 2 v + 5 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 5$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 1 \cdot 4 \cdot 5 + \left(-2\right)^{2} = -16$$
Т.к. D < 0, то уравнение
не имеет вещественных корней,
но комплексные корни имеются.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 1 + 2 i$$
Упростить
$$v_{2} = 1 - 2 i$$
Упростить
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = x^{2}$$
то
$$x_{1} = \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{v_{1}}$$
$$x_{3} = \sqrt{v_{2}}$$
$$x_{4} = - \sqrt{v_{2}}$$
тогда:
$$x_{1} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 + 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 + 2 i}$$
$$x_{2} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 + 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 + 2 i}$$
$$x_{3} = \frac{0}{1} + \frac{1 \left(1 - 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = \sqrt{1 - 2 i}$$
$$x_{4} = \frac{0}{1} + \frac{\left(-1\right) \left(1 - 2 i\right)^{\frac{1}{2}}}{1} = - \sqrt{1 - 2 i}$$
Быстрый ответ
[src]
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
x_1 = - \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{1} = - \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}$$
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
x_2 = - \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{2} = - \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}$$
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
x_3 = \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{3} = \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}$$
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
x_4 = \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 /
$$x_{4} = \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
- \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------| + - \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------| + \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------| + \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 /
$$\left(- \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) + \left(- \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) + \left(\sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
0
$$0$$
произведение
4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\ 4 ___ /atan(2)\
- \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------| * - \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------| * \/ 5 *cos|-------| - I*\/ 5 *sin|-------| * \/ 5 *cos|-------| + I*\/ 5 *sin|-------|
\ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 / \ 2 /
$$\left(- \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) * \left(- \sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) * \left(\sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} - \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right) * \left(\sqrt[4]{5} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)} + \sqrt[4]{5} i \sin{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 \right)}}{2} \right)}\right)$$
=
5
$$5$$
Численный ответ
[src]
x1 = 1.27201964951407 - 0.786151377757423*i
x2 = -1.27201964951407 + 0.786151377757423*i
x3 = -1.27201964951407 - 0.786151377757423*i
x4 = 1.27201964951407 + 0.786151377757423*i
x4 = 1.27201964951407 + 0.786151377757423*i
График