(x+8)^5=243 уравнение

Дано уравнение
$$\left(x + 8\right)^{5} = 243$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 8\right)^{5}} = \sqrt[5]{243}$$
или
$$x + 8 = 3$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = -5$$
Получим ответ: x = -5

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 8$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 243$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 243$$
где
$$r = 3$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 3$$
$$z_{2} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - \frac{3}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 8$$
$$x = z - 8$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = - \frac{35}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{35}{4} + \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{35}{4} - \frac{3 \sqrt{5}}{4} - 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{35}{4} - \frac{3 \sqrt{5}}{4} + 3 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$