Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Уравнение:
- Уравнение 7x-6=x+12
- Уравнение x-546=35+64
- Уравнение z^2+|z|=0
- Уравнение х^4+7х^2+10=0
- Выразите {x} через y в уравнении:
- -5*x+3*y=6
- 11*x-7*y=-5
- -5*x-6*y=3
- 5*x-10*y=2
-
Идентичные выражения
- (х+ два)^ пять = тридцать два
- (х плюс 2) в степени 5 равно 32
- (х плюс два) в степени пять равно тридцать два
- (х+2)5=32
- х+25=32
- (х+2)⁵=32
- х+2^5=32
-
Похожие выражения
- (х-2)^5=32
- 8х-3(2х+1)=2х+4
- 3(2,4-1,1m)=2,7m+3,2
(х+2)^5=32 уравнение
С верным решением ты станешь самым любимым в группе❤️😊
Решение
Подробное решение
Дано уравнение
$$\left(x + 2\right)^{5} = 32$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x + 2 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 0$$
Получим ответ: x = 0
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$\left(x + 2\right)^{5} = 32$$
Т.к. степень в уравнении равна = 5 - не содержит чётного числа в числителе, то
уравнение будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей уравнения:
Получим:
$$\sqrt[5]{\left(1 x + 2\right)^{5}} = \sqrt[5]{32}$$
или
$$x + 2 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 0$$
Получим ответ: x = 0
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(5 p \right)} + \cos{\left(5 p \right)} = 1$$
значит
$$\cos{\left(5 p \right)} = 1$$
и
$$\sin{\left(5 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \frac{2 \pi N}{5}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$
Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + 2 i \sqrt{- \frac{\sqrt{5}}{8} + \frac{5}{8}}$$
Сумма и произведение корней
[src]
сумма
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
0 + - - - ----- - ------------------- + - - - ----- + ------------------- + - - + ----- - ------------------- + - - + ----- + -------------------
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(0\right) + \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) + \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right)$$
=
-10
$$-10$$
произведение
______________ ______________ ______________ ______________
___ / ___ ___ / ___ ___ / ___ ___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5 5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
0 * - - - ----- - ------------------- * - - - ----- + ------------------- * - - + ----- - ------------------- * - - + ----- + -------------------
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
$$\left(0\right) * \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right) * \left(- \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}\right)$$
=
0
$$0$$
Быстрый ответ
[src]
x_1 = 0
$$x_{1} = 0$$
______________
___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_2 = - - - ----- - -------------------
2 2 2
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 - 2*\/ 5
x_3 = - - - ----- + -------------------
2 2 2
$$x_{3} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{- 2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_4 = - - + ----- - -------------------
2 2 2
$$x_{4} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
______________
___ / ___
5 \/ 5 I*\/ 10 + 2*\/ 5
x_5 = - - + ----- + -------------------
2 2 2
$$x_{5} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{i \sqrt{2 \sqrt{5} + 10}}{2}$$
Численный ответ
[src]
x1 = 0.0
x2 = -3.61803398874989 - 1.17557050458495*i
x3 = -1.38196601125011 - 1.90211303259031*i
x4 = -1.38196601125011 + 1.90211303259031*i
x5 = -3.61803398874989 + 1.17557050458495*i
x5 = -3.61803398874989 + 1.17557050458495*i
График