8/x+x/2=0 уравнение

Дано уравнение
$$\frac{x}{2} + \frac{8}{x} = 0$$
преобразуем
$$x^{2} = -16$$
Т.к. степень в уравнении равна = 2 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соответствующего уравнения не существует

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда уравнение будет таким:
$$z^{2} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{2} e^{2 i p} = -16$$
где
$$r = 4$$
- модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{2 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = -1$$
значит
$$\cos{\left(2 p \right)} = -1$$
и
$$\sin{\left(2 p \right)} = 0$$
тогда
$$p = \pi N + \frac{\pi}{2}$$
где N=0,1,2,3,...
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = - 4 i$$
$$z_{2} = 4 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = - 4 i$$
$$x_{2} = 4 i$$