|5x-4|-|3x+2|=0 уравнение

Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$3 x + 2 \geq 0$$
$$5 x - 4 \geq 0$$
или
$$\frac{4}{5} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$- (3 x + 2) + \left(5 x - 4\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$2 x - 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = 3$$

2.
$$3 x + 2 \geq 0$$
$$5 x - 4 < 0$$
или
$$- \frac{2}{3} \leq x \wedge x < \frac{4}{5}$$
получаем уравнение
$$\left(- 5 x + 4\right) - \left(3 x + 2\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 8 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$

3.
$$3 x + 2 < 0$$
$$5 x - 4 \geq 0$$
Неравенства не выполняются, пропускаем

4.
$$3 x + 2 < 0$$
$$5 x - 4 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{2}{3}$$
получаем уравнение
$$\left(- 5 x + 4\right) - \left(- 3 x - 2\right) = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 2 x + 6 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = 3$$
но x3 не удовлетворяет неравенству


Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$